Page 165 - EMY SOHILAIT DASAR KALKULUS

14.1. Luas Daerah Bidang dengan Integrasi

Luasan sebagai limit Penjumlahan
Jika f(x) kontinu dan tidak negatif dalam selang a  x  b, integral tertentu

b n
 f(x) dx  lim  f(x k )Δ k x dan dijelaskan secara geometris. Misalkan selang a  x  b
a n   k 1
x 
dibagi menjadi n sub interval h1, h2,......hn yang panjangnya  , 2 x,.......,  n x (boleh
1
juga untuk mudahnya diambil  x   x  ......   x . Ambil sembarang titik x = xi
1 2 n
pada masing-masing hi, dan bentuk persegi panjang yang alasnya hi (jadi panjangnya

 i x) dan tingginya f(xi). Persegi panjang itu disebut persegi panjang pendekatan.

n
Luas persegi panjang = f(xi)  , dan jumlah luas n persegi panjang :  f(x )Δ x
x
i k k
k 1
yang mana merupakan pendekatan dari luas daerah dibatasi oleh f(x), sumbu X serta
garis-garis x = a dan x = b. Kalau  x  0 , banyaknya subinterval n   maka luas
k

b
n

daerah tersebut adalah : Luas  L  lim  f(x )Δ x  f(x)dx
n   k k
k 1 a

Luasan dengan Integrasi

Langkah-langkah yang perlu untuk membentuk integral tertentu yang menghasilkan
luas yang diminta adalah :

(1) Buat suatu gambar, yang menunjukkan a) luas yang dicari, b) wakil pita, dan c)

persegi panjang yang didekati. Sebagai suatu kebijaksanaan, akan ditunjukkan
wakil sub selang yang lebarnya x ( atau y) dan titik x (atau y ) pada sub selang
k
k
tersebut.
(2) Tulis luas persegi panjang yang didekati dan jumlahnya untuk n buah persegi

panjang

(3) Misalkan jumlah persegi panjang menuju tak terhingga dan gunakan teorema
dasar integrasi.

Contoh soal dan penyelesaiannya :

1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x , sumbu x, x = 1 dan x = 3.
Penyelesaian :

166