Page 27 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

2. ≡ ( )

, − = −( − ) = −( ) = (− )

Karena –k juga suatu bilangan bulat, ≡ ( )
3. ≡ ( ) ≡ ( )

ℎ , ℎ :

− = − = , − = ( − ) + ( − )
= + = ( + ) .

k + l juga bilangan bulat, maka ≡ ( ).

4. Untuk pembuktian teorema 4-8 diserahkan kepada pembaca.

Definisi I-2 Jika ≡ ( ) 0 ≤ ≤ , maka r disebut residu terkecil dari a
modulo n. Himpunan {0,1,2,3,4,…, (n-1)} dinamakan himpunan residu

terkecil modulo n.
Contoh 2.12

Residu terkeil dari 29 modulo 2 adalah 1 karena 29 : 2 sisa 1
Residu terkecil dari 29 modulo 3 adalah 2 karena 29 : 3 sisa 2

J. Induksi Matematika

Sebagian besar metode pembuktian dalam matematika adalah metode deduksi, yaitu
mengikuti sejumlah pemikiran (premis yang bersifat umum) untuk memperoleh suatu konklusi

atau kesimpulan yang sifatnya khusus. Namun, adakalanya metode deduksi tidak dapat

digunakan, misalnya untuk membuktikan jumlah berhingga bilangan ganjil yang pertama
merupakan suatu kuadrat sempurna. Pada kasus seperti itu digunakan metode induksi, yaitu

memperoleh kesimpulan yang bersifat umum dari informasi-informasi (premis yang bersifat

khusus). Alat bukti yang bisa digunakan pada permasalahan ini adalah induksi matematika.
Prinsip induksi matematika menggunakan bilangan asli karena bilangan asli memiliki

sifat terurut dengan baik. Setiap subhimpunan tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil.
Misalkan ⊆ , ≠ 0, ∃ ∈ ∋ ≤ , ∀ ∈ .

Teorema : (Prinsip Induksi Matematika)
Misalkan S subhimpunan takkosong dari N yang mempunyai sifat berikut:

1. 1 ∈

2. Jika ∈ , + 1 ∈

Maka S = N
Bukti :

E-Modul Struktur Aljabar Page 21