Page 28 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

Karena ⊆ , ⊆

Andaikan ⊈ , N/S takkosong. Menurut sifat terurut dengan baik N/S memiliki elemen

terkecil, misalkan m. Perhatikan bahwa ≠ 1 1 ∈ . Karena itu, m > 1 sehingga ( −
1) ∈ . Tetapi karena m elemen terkecil dari N/S dan m – 1 < m, maka m – 1 haruslah anggota

S. Sekarang, jika − 1 ∈ , ( − 1) + 1 = ∈ . Hal

ini kontradiksi dengan ∈ / . Jadi pengandaian salah sehingga haruslah ⊆ , akibatnya , S
= N.

Secara praktis penggunaan prinsip induksi matematika dapat dilakukan dengan cara
berikut.

Misalkan untuk setiap ∈ , ( ) adalah pernyataan yang berkaitan dengan n, jika dipenuhi

langkah-langkah berikut.
 Ditunjukkan bahwa pernyataan p(n) benar untuk n =1, maka p(1) benar ( Langkah awal)

 Diasumsikan bahwa p(n) benar maka untuk suatu bilangan asli k atau p(k) benar.

 Jika p(k) benar, maka p(k+1) benar (Langkah induktif).

Contoh 1 :
Buktikan bahwa:

1
( ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + = ( = 1), ∀ ∈
2
Bukti:
Langkah 1 :
1
(1) = 1 = . 1(1 + 1
2
1 = 1 (Terbukti)
Langkah 2 :
Buktikan P(k) benar → P(k+1) benar
1
( ) ≡ 1 + 2 + 3 + ⋯ + = ( + 1) (Benar)
2
1
( + 1) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ( + 1) = ( + 1)( + 2)
2
1 + 2 + 3 + ⋯ + + ( + 1)
= (1 + 2 + 3 + ⋯ + ) + ( + 1)
1
= ( + 1) + ( + 1)
2
Diasumsikan
1
= ( + 1)( + 1)
2
1
1
= ( + 1)( + 2) 1 + 2 + 3 + ⋯ + + ( + 1) = ( + 1)( + 2)… (P(k+1) Benar
2 2

E-Modul Struktur Aljabar Page 22