Page 47 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

Teorema C-4 Setiap unsur grup G mempunyai invers tunggal.

Bukti :
(Diserahkan kepada pembaca)

Teorema C-5 Jika G suatu grup, maka ∀ ∈ , ( −1 −1 =
)
Double Invers

Bukti :
Misalkan ∈ , :

−1 = (Identitas)

) (
) (kedua ruas dioperasikan dengan
( −1 −1 −1 ) = ( −1 −1 −1 )
) (Sifat asosiatif)
)
(( −1 −1 −1 ) = = ( −1 −1
) (Invers)
= ( −1 −1
) (Identitas)
= ( −1 −1
Jadi, ( −1 −1 = (Terbukti)
)

Teorema C-6 Jika G suatu grup dan , ∈ ( ) −1 = −1 −1

Bukti :
Karena , ∈ , ∈ , sehingga berlaku:

−1
( ) =
−1
( ) ( ) −1 = −1
−1
( ) ( ) −1 = −1
−1
( ) . = −1
−1
( ) = −1
−1

( ) −1 = −1 −1
−1

( ) = −1 −1
( ) −1 = −1 −1

Teorema C-7 Jika G adalah suatu grup dan , , … . , ∈ , maka berlaku
1

2
( , , , … . , ) −1 = −1 −1 −1 … … 2 −1 1 −1

3
2
1
Bukti :
(Diserahkan kepada pembaca)
Teorema ini merupakan akibat dari teorema C-6, sehingga untuk membuktikannya menggunakan

E-Modul Struktur Aljabar Page 41