Page 42 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

Pilih = 0 ∈ , ∈ , maka

x * e = x + 0 = x dan e * x = 0 * x = x + 0 = x

Sehingga dipenuhi x * e = e * x = x
Berarti ∃ = 0 ∈ ∀ ∈ ∋ ∗ = ∗ = (Memiliki identitas)

 Akan ditunjukkan ∀ ∈ ∃ −1 ∈ ∋ ∗ −1 = −1 ∗ =

Ambil sembarang ∈ , ℎ −1 = (− ) ∈ ℎ
∗ −1 = −1 ∗ = + (− ) = (− ) + =

Berarti ∀ ∈ ∃ −1 ∈ ∋ ∗ −1 = −1 ∗ = (Memiliki invers)

Dengan dipenuhi ke empat sifat tersebut yang merupakan aksioma grup, maka terbuktilah bahwa
< G, * > merupakan grup.

Contoh 2:
Diberikan operasi * pada Z. Tentukan apakah Z merupakan grup terhadap operasi *, jika operasi

* didefinisikan sebagai x * y = x + y + 1. Apakah Z dengan operasi * merupakan grup abelian ?
Penyelesaian :

 Ambil sembarang , ∈

sehingga x * y = + + 1 ∈ ∀ , ∈ (Bersifat tertutup)
 Ambil sembarang , , ∈ , sehingga

∗ ( ∗ ) = + ( ∗ ) + 1 = + ( + + 1) + 1 = + + + 2

( ∗ ) ∗ = ( ∗ ) + + 1 = ( + + 1) + + 1 = + + + 2
Disimpulkan ∗ ( ∗ ) = + + + 2 = ( ∗ ) ∗ = + + + 2

(Bersifat asosiatif)

 Untuk sembarang ∈ ∃ = −1 ∈ ∋ + (−1) + 1 = = (−1) + + 1 =
(Mempunyai elemen identitas)

 Ambil sembarang ∈ , ∃ −1 = − − 2 ∈ sehingga

+ −1 + 1 = + (− − 2) + 1 = −1 + + 1 = (− − 2) + + 1 = −1
(Memiliki invers)

Oleh karena ke empat aksioma telah terpenuhi, maka <Z, *> merupakan grup. Sekarang

perhatikan bahwa
Untuk sembarang , ∈ berlaku:

∗ = + = 1 = = + 1 = ∗
(Sifat komutatif terpenuhi)

Maka <Z, *> merupakan grup abelian.
Contoh 3 :

Diberikan operasi biner * pada Z. Apakah Z merupakan grup terhadap operasi *, jika operasi *

E-Modul Struktur Aljabar Page 36