Page 39 - STRUKTUR ALJABAR_Neat
P. 39
Contoh 2:
+
: Himpunan bilangan bulat positif
+
Operasi * didefinisikan sebagai berikut: ∗ = , ∀ , ∈
Operasi tersebut merupakan operasi biner tetapi tidak berlaku sifat komutatif. Misalkan pilih a =
4 dan b = 7 maka 4 * 7 = 4, sedangkan 7 * 4 = 7. Hal ini memperlihatkan ∗ ≠ ∗ .
Contoh 3 :
P adalah himpunan semua matriks bujur sangkar berordo 2. Perkalian matriks pada P tidak
memenuhi sifat komutatif. (Selidiki!)
Definisi B.2 Suatu operasi biner * pada suatu himpunan S bersifat asosiatif jika dan
hanya jika ∀ , , ∈ ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ ).
Contoh 4:
R adalah himpunan bilangan real. Operasi biner * pada R didefinisikan sebagai berikut.
∀ , ∈ , ∗ = + 2 , akan ditunjukkan * bersifat asosiatif atau tidak.
Penyelesaian ;
Ambil sembarang , , ∈ , ℎ
(a * b) * c = ( a + 2b) * c = a + 2b + 2c
a * (b * c ) = a * ( b + 2c ) = a + 2b + 4c
maka ( ∗ ) ∗ ≠ ∗ ( ∗ ) (operasi biner * pada R tidak bersifat asosiatif).
Contoh 5:
Didefinisikan operasi * sebagai x * y = x + y + 1, ∀ x,y ∈ , maka * bersifat asosiatif.
Misalkan , , ∈ , maka :
(x * y) * z = (x + y + 1) * z
= (x + y + 1) z + 1
= x + y + z + 2
x * (y * z) = x * ( y + z + 1)
= x + (y + z + 1) + 1
= x + y + z + 2
Maka (x * y) * z = x * (y * z) bersifat asosiatif.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real kecuali -1. Operasi * pada R didefinisikan
sebagai ∗ = + + , ∀ , ∈ .
a. Tunjukkan bahwa * merupakan operasi biner.
b. Tentukan solusi dari persamaan 2 ∗ ∗ 3 = 7 di R.
E-Modul Struktur Aljabar Page 33
