Page 41 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

C. GRUP

Definisi C-1 Suatu himpunan G dengan operasi biner * disebut grup jika memenuhi
aksioma-aksioma berikut.

1. G di bawah operasi * bersifat asosiatif
Artinya ∀ , , ∈ ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ )

2. Ada unsur identitas ∈ . Artinya e * x = x * e = x, ∀ ∈

3. Memiliki invers, artinya

∀ ∈ ∃ −1 ∈ ∋ ∗ −1 = −1 ∗ =

Definisi di atas menggunakan operasi * merupakan operasi biner. Jika operasi *
bukan operasi biner artinya masih sebagai suatu operasi saja maka definisi di atas dapat disajikan

sebagai berikut:
G suatu himpunan tak hampa, * merupakan suatu operasi maka < G, *> dikatakan grup jika dan

hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:

1. Bersifat tertutup, ∗ ∈ ∀ , ∈
2. Bersifat asosiatif, ∀ , , ∈ ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ )

3. Memiliki unsur identitas, ∀ ∈ ∃ ∈ ∋ ∗ = ∗ = .

4. Memiliki invers, ∀ ∈ ∃ −1 ∈ ∋ ∗ −1 = −1 ∗ =

Definisi C-2 Grup G dikatakan grup komutatif atau abelian grup, jika G di bawah operasi

* memenuhi sifat komutatif artinya ∀ , ∈ ∗ = ∗ .

Contoh 1:

G : Himpunan semua bilangan bulat, didefinisikan operasi * sebagai operasi penjumlahan biasa,

atau x * y = x + y, ∀ , ∈ . Buktikan < G, * > merupakan grup!
Penyelesaian :

 Ambil sembarang , ∈

∗ ∈ ∀ , ∈ (Sifat tertutup terpenuhi)
 Ambil sembarang , , ∈

∗ ( ∗ ) = x + ( y + z )

= x + y + z
= (x + y ) + z

= (x * y) * z (Sifat asosiatif terpenuhi)
 Akan ditunjukkan ∀ ∈ ∃ ∈ ∋ ∗ = ∗ =

E-Modul Struktur Aljabar Page 35