Page 36 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

OPERASI BINER DAN GRUP

Secara umum yang dimaksud dengan operasi biner adalah operasi yang ada pada setiap
kali operasi itu dijalankan hanya ada dua unsur yang dapat diselesaikan. Jika ada tiga unsur, dua

unsur dikerjakan lebih dahulu sedangkan satu unsur dikerjakan kemudian. Jadi dalam operasi

biner tidak dapat mengerjakan tiga operasi sekaligus. Disamping itu pula operasi biner mencakup
sifat ketertutupan. Jika suatu bilangan bulat ditambahkan dengan bilangan bulat yang lain naja

juga akan memberikan hasil suatu bilangan bulat yang unik (tunggal). Berdasarkan pernyatan di

atas dengan operasi penjumlahan menunjukkan adanya hubungan bahwa setiap pasangan ( , ) ∈
, ∈ akan menghasilkan + ∈ yang unik/tunggal. Jadi operasi + pada

himpunnan Z merupakan suatu fungsi dari Z x Z ke Z dengan matematis dapat ditulis +∶ ( , ) →
+ .

A. PENGERTIAN OPERASI BINER

Definisi A.1 Operasi biner * pada suatu himpunan S adalah suatu fungsi dari SxS ke S,

yang memetakan ( , ) ∈ ∗ ∈ yang

unik/tunggal. Karena ∗ ∈ berarti S tertutup di bawah operasi *.
Secara simbolis operasi biner ditulis

∗ ∶ ( , ) → ( ∗ ) ( dibaca “ a operasi b “)

Contoh 1 :

Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan asli merupakan operasi biner. Sebab
jika , ∈ + ∈ . Begitu juga ∈ . Sedangkan operasi pengurangan dan

pembagian pada N bukan merupakan operasi biner. Hal ini disebabkan, jika 4,5 ∈ akan tetapi

4 − 5 = −1 ∉ .
Contoh 2:

+
Perkalian : ( , ) → merupakan operasi biner. Artinya bahwa perkalian dua bilangan
bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif, yang berarti bahwa operasi perkalian bersifat

tertutup pada . Demikian juga berlaku pada Z, Q, R, dan C. Akan tetapi operasi pembagian
+
3
pada Z bukanlah operasi biner. Sebab, 3,4 ∈ ∉ .
4

Contoh 3:
+

Operasi Perpangkatan pada ( , ) → adalah operasi biner.
Contoh 4:

Misalkan = {2,4,6,8, … } yaitu himpunan bilangan asli genap dan dipasang operasi +, yaitu

E-Modul Struktur Aljabar Page 30