Page 46 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

Teorema C-1 Dalam suatu grup G dan , , ∈ berlaku hukum pencoretan (Kanselasi)

Hukum 1. Pencoretan kiri: = → =

Kanselasi 2. Pencoretan kanan : = → =

Bukti :
= (diketahui)

−1 ( ) = −1 ( ), −1 ∈ (Sifat invers)

( −1 ) = ( −1 ) (Sifat asosiatif)
= (Identitas)

=

Dengan cara yang sama bukti b dapat dilakukan seperti bagian a dengan mengoperasikan dari
kanan

Teorema C-2 Elemen invers pada grup G, persamaan = = , ∈
Trivial mempunyai penyelesaian tunggal.

solution
Bukti :

−1
Misalkan = adalah solusi dari persamaan ax = b, karena :
−1
= ( )
−1
= ( ) (Sifat asosiatif)
= ( ) (identitas)

=
Selanjutnya, untuk membuktikan ketunggalannya dimisalkan x1 dan x2 merupakan solusi dari

persamaan ax = b, maka ax1 = ax2 = b. sehingga ax1 = ax2, dan menurut hukum kanselasi kiti

(Teoema C-1) diperoleh x1 = x2. Sehingga terbukti bahwa persamaan ax = b mempunyai
penyelesain tunggal.

Teorema C-3 Unsur identitas pada sembarang grup G adalah tunggal.

Ketunggalan

Bukti :
Misalkan ada , yang masing-masing unsur identitas dari G, maka berlaku
1
2
∀ ∈ , = , , dan
1
1
=
2
2
Sehingga berdasarkan persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa = dan selanjutnya
1
2
dengan menggunakan hukum kanselasi kanan diperoleh = .
2
1
E-Modul Struktur Aljabar Page 40