Page 49 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

RANGKUMAN :
 Operasi biner * pada suatu himpunan S adalah suatu fungsi dari SxS ke S, yang

memetakan ( , ) ∈ ∗ ∈ yang unik/tunggal. Karena ∗ ∈

berarti S tertutup di bawah operasi *.
 Secara simbolis operasi biner ditulis ∗ ∶ ( , ) → ( ∗ ) ( dibaca “ a operasi b “)

 Suatu operasi biner * pada suatu himpunan S dikatakan komutatif jika dan hanya jika

∀ , ∈ → ∗ = ∗ . (dibaca untuk setiap x, y anggota S maka x * y = y * x)
 Suatu operasi biner * pada suatu himpunan S bersifat asosiatif jika dan hanya jika

∀ , , ∈ ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ ).

 Suatu himpunan G dengan operasi biner * disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma
berikut.

1. G di bawah operasi * bersifat asosiatif

Artinya ∀ , , ∈ ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ )
2. Ada unsur identitas ∈ . Artinya e * x = x * e = x, ∀ ∈

3. Memiliki invers, artinya

∀ ∈ ∃ −1 ∈ ∋ ∗ −1 = −1 ∗ =
 Grup G dikatakan grup komutatif atau abelian grup, jika G di bawah operasi * memenuhi

sifat komutatif artinya ∀ , ∈ ∗ = ∗ .

 Misalkan G adalah grup hingga (finite grup). Order dari G adalah banyaknya keanggotaan
G. Dinotasikan dengan O (G) atau |G|.

 Dalam suatu grup G dan , , ∈ berlaku hukum pencoretan (Kanselasi)

1. Pencoretan kiri: = → =
2. Pencoretan kanan : = → =

 Elemen invers pada grup G, persamaan = = , ∈
mempunyai penyelesaian tunggal.

 Elemen invers pada grup G, persamaan = = , ∈

mempunyai penyelesaian tunggal.

 Unsur identitas pada sembarang grup G adalah tunggal.
 Setiap unsur grup G mempunyai invers tunggal.

 Jika G suatu grup, maka ∀ ∈ , ( −1 −1 =
)
 Jika G suatu grup dan , ∈ ( ) −1 = −1 −1

 Jika G adalah suatu grup dan , , … . , ∈ , maka berlaku
2
1

( , , , … . , ) −1 = −1 −1 −1 … … 2 −1 1 −1

1
2
3

E-Modul Struktur Aljabar Page 43