Page 48 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

analogi bukti teorema C-6.

Teorema C-8 Misalkan G himpunan tak kosong dengan operasi grup jika dan hanya jika

memenuhi aksioma berikut.
1. Hukum assosiatif : ∀ , , ∈ , ( ) = ( )

2. Ada unsur identitas kiri : ∀ ∈ , ∃ ∈ , ℎ =

3. Ada unsur invers kiri : ∀ ∈ , ∃ −1 ∈ ℎ −1 =

Bukti :

Karena G grup, maka menurut definisi C-1 telah terpenuhi aksioma 1,2,3. Sehingga jika G ≠ ∅
dan memenuhi aksioma 1, 2, dan 3 maka G grup. Untuk membuktikannya, kita tinggal

membuktikan unsur identitas kiri e, juga merupakan unsur identitas kanan dan jika −1 invers kiri
dari x, juga merupakan invers kanan dari x.

 Jika −1 adalah invers kiri dari x, maka :

−1 =

( −1 ) −1 = −1
−1 ( −1 ) = −1

( −1 −1 −1 ( −1 )) = ( −1 −1 −1
)
) (
−1
)
(( −1 −1 −1 )( ) =
( −1 ) =
−1 =

Jadi −1 merupakan invers kanan dari x
Jika e unsur identitas kiri ∀ ∈

=
( −1 ) =

( −1 ) =

=
Jadi e merupakan unsur identitas kanan. Selanjutnya diperoleh

−1 = −1 = = =

Karena pada G memenuhi sifat-sifat grup (assosiatif, memiliki unsur identitas, dan memiliki
invers) maka terbukti G grup

E-Modul Struktur Aljabar Page 42