Page 96 - STRUKTUR ALJABAR_Neat
P. 96
A. HOMOMORFISMA
Definisi A-1 Suatu pemetaan dari grup < 1, 0 > ke grup < 1,∗> disebut
homomorfisma jika:
∀ , ∈ 1 berlaku : ( о ) = ( ) ∗ ( )
Definisi A-2 a. Suatu homomorfisma yang injektif dinamakan Monomorfisma.
b. Suatu homomorfisma yang surjektif dinamakan Epimorfisma.
c. Suatu homomorfisma yang bijektif dinamakan Isomorfisma.
d. Suatu homomorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri
dinamakan Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif
dinamakan Automorfisma
Contoh 1:
Ambil grup < , > yaitu himpunan bilangan real tak nol terhadap perkalian biasa dan =
{−1,1} terhadap perkalian. Bangun pemetaan : → yang didefenisikan sebagai berikut: ( )
= 1, jika > 0 dan ( ) = −1, jika < 0.
Tunjukkan bahwa pemetaan merupakan homomorf.
Bukti:
Ambil , ∈ ad tiga kemungkinan:
a) > 0 dan > 0 maka > 0
Menurut defenisi: ( ) = 1; ( ) = 1; dan ( ) = 1 sehingga berlaku:
( ) = ( ). ( )
b) < 0 dan < 0 maka > 0
Menurut defenisi: ( ) = −1; ( ) = −1; dan ( ) = 1 sehingga berlaku:
( ) = ( ). ( )
Salah satu x dan y negatif maka xy negatif dan salah satu ( ) dan ( ) bernilai -1,
sedangkan ( ) bernilai -1 sama dengan nilai ( ). ( ), sehingga dipenuhi ( ) = ( ).
( )
E-Modul Struktur Aljabar Page 91
