Page 101 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

Teorema A-2 Jika G dan G* adalah grup; : → ∗ suatu pemetaan homomorf; H =

Ker ( ) maka ≤ dan aH = Ha.

Teorema A-3 Suatu homomorfisa diketahui monomorfisma jika dan hanya jika

intinya merupakan himpunan tunggal.

Bukti:
1. Jika monomorfisma maka I( ) himpunan tunggal

2. Jika I( ) himpunan tunggal maka monomorfisma
Sebelumnya kita ketahui bahwa monomorfisma adalah suatu homomorfisma yang injektif.

a) monomorfisma maka adalah injektif , menurut defenisi injektif maka setiap unsur

yang memiliki prapeta, prapetanya merupakan himpunan tunggal, dengan demikian
maka terbukti bahwa I( ) berupa himpunan tunggal.

b) Dari teorema H-1 butir 1 kita peroleh ( ) = * menurut defenisi inti maka

∈ ( ). Jika I( ) berupa himpunan tunggal maka pastilah ( )

=

{ }. Demikian yang harus dibuktikan adalah: jika ( ) = { } maka injektif. Ambil ,
∈ dengan ( ) = ( ), akan ditunjukkan x = y
−1
−1
( ) ( ( )) = * dengan teorema H-1 butir 2 diperoleh ( ) ( ) = *
homomorf maka ( ) = * kita peroleh =
−1
Dengan dipenuhinya ( ) = ( ) maka = , terbuktilah bahwa injektif.

B. ISOMORFISMA

Definisi B-1 G dan G* merupakan grup, pemetaan : → * dikatakan

Isomormorfisma jika dan hanya jika memenuhi kedua syaratnya berikut:

1. pemetaan bijektif dan
2. merupakan pemetaan homomorf

Homomorf mempunyai sifat mengawetkan operasi.

−1
−1
Jika Isomorf maka mempunyai sifat ( ( )) = , ∀ ∈

E-Modul Struktur Aljabar Page 96