Page 100 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

= {0} ini berarti bilangan 0 merupakan inti dari .

Contoh 2

Dari contoh 3 sebelumnya, diketahui bahwa : → * dengan ( ) = log
merupakan pemetaan homomorf. Kernel dari atau

I( ) = { ∈ | ( ) =e*}

= { ∈ | ( ) = 0} 0 unsur netral dari G*
= { ∈ | log = 0}

= {1}

Teorema A-1
G adalah G* adalah dua buah grup : → adalah pemetaan
homomorf, e = unsur kesatuan dari G dan e* = unsur kesatuan dari
G*, maka:

1. ( ) = *

−1
2. ( ) = { ( )} ∀ ∈
−1
3. Jika H subgrup dari G maka ( ) subgrup dari *
4. K* subgrup dari G* maka ( * subgrup dari G
−1

Akan ditunjukkan bagian 1 dan 4 :

1. ( ) = *
Bukti:

Ambil sembarang ∈ maka a e = a, karena pemetaan maka

( ) = ( ), karena pemetaan homomorf maka
( ) ( ) = ( ), ( ) ∈ * (G* grup) maka

( ) ( ) = ( ) e* dengan kanselisasi kiri diperoleh

( ) = e* (Terbukti)
2. K* subgrup dari G* maka ( * subgrup dari G
−1
Ambil sembarang , ∈ = (K*) maka ( ) = * ∈ * dan ( ) =
−1
−1
* ∈ *, karena K* ≤ * maka a*( ∗) ∈ * atau ( ) ( ( )) ∈ *
−1
−1
( )( ( )) ∈ * karena pemetaan ∈
−1
Terbukti bahwa K subgruo dari G

E-Modul Struktur Aljabar Page 95