Page 102 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

Jika < , о > dan < *, > Isomorfisma maka dapat dikatakan bahwa < , о >

identik dengan < *, > dinotasikan G ≅ G*.

Teorema B-1
G : Koleksi semua grup; 1, 2 grup, didefenisi relasi R sebagai berikut

1 2 jika dan hanya jika 1 ≅ 2 maka relasiR merupakan relasi
ekuivalen.

Bukti:

Akan ditunjukkan 3 sifat:

1. Sifat ditunjukkan atau G R G, G G

Ambil sembarang G G maka G isomorf terhadap dirinya sendiri artinya G G (Terbukti)

2. Sifat simetri atau 1 2 → 2 1, ∀ 1, 2 ∈

Ambil sembarang 1, 2 ∈ dengan 1 2 atau 1 ≅ 2berarti ∃ : 1 → 2, ∋

homomorf dan bijektif .

Karenanya ∃ : 2 → 1 yang juga merupakan isomorf. Jadi 2 ≅ 1(Terbukti)
−1
1) Sifat Transitif atau 1 2 dan 2 2 → 1 3
∀ 1, 2 dan 2 ∈

1 2 berarti ∃ : 1 → 2, ∋ homomorf dan bijektif
2 3 berarti ∃ : 2 → 3, ∋ homomorf dan bijektif

= ( : 1 → 2)
Dengan dipenuhi ketiga sifat diatas maka Relasi tersebut merupakan relasi ekuivalen pada

Gsehingga G terpecah dalam kelas-kelas ekuivalen yang saling asing.

Teorema B-2 Sembarang grup siklik G yang tak berhingga isomorf dengan grup 2
himpunan bulat dengan operasi penjumlahan biasa.

Contoh 1:

+
Tunjukkan bahwa grup < , +> Isomorf dengan grup < , . >
Bukti :

+

Bangun relasi : → dengan ( ) = , ∈

E-Modul Struktur Aljabar Page 97