Page 99 - STRUKTUR ALJABAR_Neat
P. 99

Contoh 6:

              Misalkan    merupakan relasi natural dari Z ke      yang didefenisikan dengan   (  ) =

                (r merupakan sisa m dibagi n  .

              Tunjukkan bahwa   (  ) merupakan pemetaan homomorf.

              Bukti:

              Ambil  sembarang    1,   2 ∈     dengan    1 =   2,    1  dan    2 sama-sama  dibagi dengan  n
              maka  akan  menghasilkan  sisa    yang  sama  artinya    (  1) =   1 =   (  2) =   2.  Jadi    

              merupakan  fungsi.

              Kemudian  dibuktikan  bahwa    (  1 +   2) =   (  1) +   (  2).

              Ambil  sembarang    1,   2 ∈     dengan    1 =   1   +   1  dan    2 =   2   +   2,  ini berarti

                (  1) =   1 dan   (  2) =   2.
              Misalkan   (  1 +   2) =    atau   1 +   2 =       +   

              maka akan ditunjukkan r =   1 +   2

                                                            1 =   1   +   1
                                                            2 =   2   +   2

                                                      1 +   2 = (   +   ) +    +   
              Terbukti bahwa    =   1 +   2 atau   (  1 +   2) =   (  1) +   (  2). Terbukti bahwa

                 merupakan pemetaan homomorf.

                 Definisi A-3
                                    suatu homomorfisa dari G ke G*, yang dimaksud dengan Kemel atau

                                 inti dari   , yaitu I(  ) didefenisikan dengan I(  ) = {   ∈    |   (  ) =e*},e*
                                 adalah elemen netral dari G*.




              Contoh 1

              G  adalah  grup  dari  semua  bilangan  real  dengan  operasi  penjumlahan,  G*  adalah  grup  dari

              semua  bilangan  real tanpa  nol dengan  operasi perkalian    :    →G* dengan   (  ) = 3 , dapat
                                                                                                    
              ditunjukkan bahwa     suatu homorfisma, kemudian elemennetral dari G* adalah 1. Inti dari   

              adalah..

              I(  )      = {   ∈    |   (  ) = 1}                 1 unsur netral dari G* atau
                      = {   ∈    | 3  = 1}
                                    






              E-Modul Struktur Aljabar                                                              Page 94
   94   95   96   97   98   99   100   101   102   103   104