Page 99 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

Contoh 6:

Misalkan merupakan relasi natural dari Z ke yang didefenisikan dengan ( ) =

(r merupakan sisa m dibagi n .

Tunjukkan bahwa ( ) merupakan pemetaan homomorf.

Bukti:

Ambil sembarang 1, 2 ∈ dengan 1 = 2, 1 dan 2 sama-sama dibagi dengan n
maka akan menghasilkan sisa yang sama artinya ( 1) = 1 = ( 2) = 2. Jadi

merupakan fungsi.

Kemudian dibuktikan bahwa ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2).

Ambil sembarang 1, 2 ∈ dengan 1 = 1 + 1 dan 2 = 2 + 2, ini berarti

( 1) = 1 dan ( 2) = 2.
Misalkan ( 1 + 2) = atau 1 + 2 = +

maka akan ditunjukkan r = 1 + 2

1 = 1 + 1
2 = 2 + 2

1 + 2 = ( + ) + +
Terbukti bahwa = 1 + 2 atau ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2). Terbukti bahwa

merupakan pemetaan homomorf.

Definisi A-3
suatu homomorfisa dari G ke G*, yang dimaksud dengan Kemel atau

inti dari , yaitu I( ) didefenisikan dengan I( ) = { ∈ | ( ) =e*},e*
adalah elemen netral dari G*.

Contoh 1

G adalah grup dari semua bilangan real dengan operasi penjumlahan, G* adalah grup dari

semua bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian : →G* dengan ( ) = 3 , dapat

ditunjukkan bahwa suatu homorfisma, kemudian elemennetral dari G* adalah 1. Inti dari

adalah..

I( ) = { ∈ | ( ) = 1} 1 unsur netral dari G* atau
= { ∈ | 3 = 1}

E-Modul Struktur Aljabar Page 94