Page 99 - STRUKTUR ALJABAR_Neat
P. 99
Contoh 6:
Misalkan merupakan relasi natural dari Z ke yang didefenisikan dengan ( ) =
(r merupakan sisa m dibagi n .
Tunjukkan bahwa ( ) merupakan pemetaan homomorf.
Bukti:
Ambil sembarang 1, 2 ∈ dengan 1 = 2, 1 dan 2 sama-sama dibagi dengan n
maka akan menghasilkan sisa yang sama artinya ( 1) = 1 = ( 2) = 2. Jadi
merupakan fungsi.
Kemudian dibuktikan bahwa ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2).
Ambil sembarang 1, 2 ∈ dengan 1 = 1 + 1 dan 2 = 2 + 2, ini berarti
( 1) = 1 dan ( 2) = 2.
Misalkan ( 1 + 2) = atau 1 + 2 = +
maka akan ditunjukkan r = 1 + 2
1 = 1 + 1
2 = 2 + 2
1 + 2 = ( + ) + +
Terbukti bahwa = 1 + 2 atau ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2). Terbukti bahwa
merupakan pemetaan homomorf.
Definisi A-3
suatu homomorfisa dari G ke G*, yang dimaksud dengan Kemel atau
inti dari , yaitu I( ) didefenisikan dengan I( ) = { ∈ | ( ) =e*},e*
adalah elemen netral dari G*.
Contoh 1
G adalah grup dari semua bilangan real dengan operasi penjumlahan, G* adalah grup dari
semua bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian : →G* dengan ( ) = 3 , dapat
ditunjukkan bahwa suatu homorfisma, kemudian elemennetral dari G* adalah 1. Inti dari
adalah..
I( ) = { ∈ | ( ) = 1} 1 unsur netral dari G* atau
= { ∈ | 3 = 1}
E-Modul Struktur Aljabar Page 94