Page 97 - STRUKTUR ALJABAR_Neat

Contoh 2:

Andaikan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. Bangun pemetaan
: → sebagai berikut ( ) = 2 , ∀ ∈ Tunjukkan bahwa merupakan pemetaan

homomorf .

Bukti:

Ambil sembarang , ∈

( ) = 2 dan ( ) = 2
Perhatikan ( ) = ( + ) = 2( + )

= 2 + 2

= ( ) + ( )
( ) = ( + ) = ( ) + ( ) Terbukti

Contoh 3:

1 adalah grup dari semua bilangan real positif dengan operasi perkalian, 2adalah grup dari
semua bilangan real dengan operasi penjumlahan.

Didefenisikan pemetaan : 1 → 2 dengan ( ) = log . Buktikan bahwa pemetaan isomorf.

Bukti:

Ambil sebarang , ∈ 1 maka ( ) = log( )

= log + log

= ( ) + ( )
Terbukti bahwa merupakan pemetaan homomorf, selanjutnya harus ditunjukkan bahwa

adalah injektif atau surjektif.
Ambil sebarang , ∈ 1 dengan ( ) = ( ) akan ditunjukkan =

( ) = ( ) → log = log (defenisi)

=
Terbukti bahwa injektif.

Akan ditunjukkan surjektif artinya ∀ ∈ 2 ∃ ∈ 1϶ ( ) =

Ambil sebarang ∈ 1 perhatikan log = maka = 10 berarti

∀ ∈ 2 ∃ = 10 ∈ 1 ∋ ( ) =
Terbukti bahwa surjektif.
Dengan demikian terbukti bahwa merupakan isomorf.

E-Modul Struktur Aljabar Page 92