Page 88 - LEMBAR AKTIVITAS MAHASISWA MATEMATIKA DASAR
P. 88
D. PANJANG KURVA
Panjang suatu busur dapat ditentukan dengan menggunakan integral tentu. Suatu
busur (ruas dari suatu kurva) dapat didekati dengan menggunakan ruas garis lurus
yang panjangnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak,
= √(… − ) + ( − ⋯ )
2
2
2
1
Misalkan fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang kontinu dan memiliki turunan
pada interval [a, b]. Perlu diingat bahwa fungsi yang demikian memiliki f ’ yang
memiliki turunan di [a, b] dan memiliki grafik berupa kurva halus. Grafik dari
fungsi f tersebut dapat ditaksir dengan menggunakan ruas garis-ruas garis yang
titik-titik ujungnya ditentukan oleh partisi
= < ⋯ < < ⋯ < ⋯ =
2
0
seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
Dengan memisalkan Δx = xi – xi – 1 dan Δy = yi – yi – 1, panjang ruas dari suatu grafik
dapat diperkirakan sebagai berikut.
2
≈ ∑ √( − ⋯ ) + (… − −1 )
2
=1
2
2
= ∑ √(∆ ) + (∆ )
=1
2
= ∑ √(∆ ) + ( ∆ ) (∆ )
2
2
=1
….
2
= ∑ √… + ( ∆ ) (… . )
=1
∆
Perkiraan tersebut akan semakin baik dan baik apabila ||Δ|| → 0 atau n → ∞.
Sehingga, panjang ruas dari grafik tersebut adalah
2
∆
= lim ∑ √1 + ( ) (∆ )
||∆||→0 ∆
=1
85
