Page 13 - UNI ARITMETICA 5

Aritmética 5° UNI

Función Euler (Φ)
La función Euler de un número entero positivo “N”, nos indica la cantidad de números menores o iguales a “N”; que
con él son primos entre sí:

m
b
N = A . B . C . ......... M (descomposición canónica)
c
a

Φ(N) = A a-1 . (A-1). B b-1 . (B-1) .... M m+1 . (M - 1)

La función de Euler es también conocida como el indicador de un número.

Ejemplo:
¿Cuántos números menores que 12 son primos con él?

1° Los números menores que 12 son:

4 números son PESI con 12
∴ se tiene 4 números

2
2° 12 = 2 . 3  Φ(12) = 2 2 - 1 .(2 - 1).3 1 - 1 .(3 - 1) = 4
1

Función máximo entero [N]
Si [n] = x; entonces x ≤ n < x + 1; x ∈ ℕ

Ejemplos:
* [18] = 18 * [35; 284] = 35
* [5; 35] = 5 * [9; 2] = 9

Aplicación en la descomposición canónica de un factorial

Sea: N! = A 1 a 1  A 2 a 2  A 3 a 3  .....A n n a

 N   N   N 
donde: a =   +  2  +  3  + .......
i
 A i   A i   A i 

Ejemplo:
Calcular los exponentes de 3 y 5 en 50!

Solución:
47
50! = 2 . 3 . 5 .....
a
b

 50  50  50
+
a =   3   +   3  +   3  = 16 + 5 1 22 → a = 22
=
3 
2 
 50  50
b =   5   +   5  = 10 + 2 = 12 → b = 12
2 

* Como regla práctica se puede realizar las divisiones sucesivas:

Para 3: Para 5:

b = 10 + 2 ➝ b = 12
a = 16 + 5 + 1 ➝ a = 22

Compendio -12-