Page 25 - Kalkulus Lanjut

Definisi Turunan Berarah

Laju perubahan dalam arah vektor unit disebut turunan berarah dan ditulis

dengan notasi . Definisi dari turunan verarah adalah

Definisi diatas secara teknis dan praktis akan sangat sulit menghitung limitnya.Perlu

dicari suatu cara agar dapat lebih mudah menghitung turunan berarah. Berikut ini diuraikan
proses penurunan suatu rumusan yang lebih praktis untuk menghitung directional derivatives.

• Suatu fungsi peubah tunggal didefinisikan

g (z ) = f (x + az , y + bz )
0
0
Dimana x , y 0 a, , b adalah suatu bilangan tetap.
0

• Maka berdasarkan definisi turunan fungsi peubah tunggal didapat

g (  z) = lim g( z + h) − g( z)
h→ 0 h
z
0
• Dan turunan pada = adalah
g( h) − g )
(
0
( 
g 0 = lim
)
h→ 0 h

• Bila disubtitusikan (z didapat
)
g
g (h ) − ) 0 ( g f (x + ah ) − g (x , y )
g ) 0 (  = lim = lim 0 0 0 = D f (x , y )
h→ 0 h h→ 0 h u 0 0

• Jika kita mendapat hubungan sbb:

g ) 0 ( = D u f (x 0 , y 0 ) ) 1 (

• Bila (z ditulis ulang sebagai:
)
g
g (z ) = f (x , ) y dimana x = x + az dan y = y + bz
0
0
• Dari aturan rantai didapat:

dg f  dx f  dy
g (  z) = = . + . = f ( x, y) a + f ( x, y) b
dz x  dz y  dz x y

21