Page 48 - Bahan Ajar Kalkulus Lanjut

3.5 Aplikasi Integral Lipat Dua
Penerapan integral lipat dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan lain

yaitu mencari massa, pusat massa dan momen inersia.
a. Massa

Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan (massa/ satuan


, x
)
luas) di (x,y) dinyatakan oleh ( y . Partisikan s dalam persegi panjang kecil
R 1 , R 2 ,...R Ambil titik ( x k , y k )pada R . Massa R secara hampiran (  x, y) AR dan
k
k
k
. k
n
massa total lamina secara hampiran m =   (x k , y k )A (R k )
k 1 =
Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi
mendekati nol, sehingga :
n
lim   (x k , y )A (R )
P→ 0 k= 1 k k
Limit jumlah tersebut membentuk integral lipat dua :

m =  (  x, y) dA

s
b. Pusat Massa
Jika m , m ,... m adalah kumpulan titik massa yang masing-masing ditempatkan di (
1
2
n
x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ) ,.......,( x n , y n ) pada bidang maka momen total terhadap sumbu y dan

n
n
sumbu x. M y =  x k m , M x =  y k m . Koordinat ( , yx )dari pusat massa:
k
k
k =1 k =1
)
Koordinat ( , y dari pusat massa.
x
 x ( x, y) dA  y ( x, y) dA


M M
x = y = s dan =y x = s
m  (  x, y) dA m  (  x, y) dA
s s
Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama), tapi jika

kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:
  xdA   ydA

x = s dan =y s
  dA   dA
s s

44