Page 15 - e-modul Aljabar Linear
P. 15
(b) Diberikan matriks A = [ ] dengan ukuran m n, matriks B = [ ]
dengan ukuran n p dan matriks C = [[ ]] dengan ukuran p s.
selanjutnya akan dibuktikan A(BC) = (A)BC. Pertama dimisalkan bahwa
entri matriks BC adalah . Kemudian entri matriks A(BC) adalah
∑ . Jadi entri ke-ij matriks A(BC) adalah sebagai berikut
∑ =∑ (∑ ) = ∑ ∑ . (1.2)
Dengan argumentasi yang sama dapat ditunjukkan bahwa entri seperti
terlihat pada persamaan (1.2) tersebut juga merupakan entri ke-ij
matriks (AB)C.
(c) Diberikan matriks A = [ ] dengan ukuran m n dan matriks B = [ ]
dan matriks C = [ ] dengan ukuran n p. Selanjutnya akan dibuktikan
A(B + C) = AB + AC. Dimisalkan terlebih dahulu bahwa entri ke-ij
matriks B + C adalah .
A(B + C) = [ ] [ ]
= [∑ ]
= [∑ ]
= [∑ ( ) ]
= [∑ ] [ ∑ ]
= AB + AC.
(d) Secara analog dapat ditunjukkan (B + C)A = BA + CA;
(e) Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai
latihan.
(f) Diketahui AB = I dan CA = I. Selanjutnya menggunakan sifat (a) dan (b)
diperoleh
B = I B = (CA)B = C(AB) = CI = C.
Operasi perkalian matriks ini secara umum tidak bersifat komutatif.
Sebagai contoh, diambil matriks-matriks
A = [ ], B = [ ],
Kemudian perhatikan hasil kalinya seperti di bawah ini
AB = [ ] [ ] = [ ],
