Page 37 - 수학(하)
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알맹이 콕 !
. 1 명제 p $ q
) 1 명제 p $ q
5
2
예를 들어 명제 x[ = 이면 x + 3 = 이다. \ 에서
가정 : x = 이다. 결론 : x + 3 = 이다.
2
5
P Q
2) 명제 p $ q 의 참 , 거짓과 진리집합 사이의 관계
q
명제 p $ 가 거짓임을 보일 때는 가정 p 는 만족시키지만 결론 q 를
x
만족시키지 않는 예가 하나라도 있음을 보이면 된다.
이와 같이 명제가 거짓임을 보이는 예를 반례라 한다.
반례
3) 명제 p $ q 의 부정 (교육과정 외 범위 임)
p $ q / ~p , 이므로 ~ p $ h p + ~q 이다.
q /
q
^
2. 명제의 역과 대우
) 1 명제의 역
명제 q $ p 를 명제 p $ 의 역이라 한다.
q
가정과 결론을 서로 바꾼 명제
2) 명제의 대우
q
1 ]g 명제 ~q $ ~p 를 명제 p $ 의 대우라 한다.
가정과 결론을 각각 부정하여 서로 바꾼 명제
2 ]g 어떤 명제가 참임을 보일 때에는 명제와 그 대우의 참, 거짓이 같으므로 그 대우가 참임을 보여도 된다.
3) 삼단논법 R
Q
,
,
세 조건 ,pq r 의 진리집합을 각각 ,PQ R 라 하면
P
P 1 Q 이고 Q 1 R 이므로 P 1 R 이다.
3. 충분조건과 필요조건
q
) 1 명제 p $ 가 거짓일 때, p ( q 로 나타낸다.
) 2 P 1 Y , Q Q 1 Y P 이면 아무 조건도 아니다.
) 3 가정부분을 왼쪽에, 결론부분을 오른쪽에 놓고 ( 집합에서 1g 이 성립하면 충분조건,
]
' 집합에서 2g 이 성립하면 필요조건이며, 둘 다 성립하면 필요충분조건이다.
]
예를 들어 P 1 Q 이면 P ( Q 이므로 p 는 q 이기 위한 충분조건이며,
Q ' P 이므로 q 는 p 이기 위한 필요조건이다.
q
예제 04 명제 p $ 의 참 , 거짓
전체집합 U = " | xx는실수, 에서 다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오.
1 ]g x > 이면 x > 이다. 2 ]g x = 16 이면 x = 이다.
2
4
2
4
1 ]g 두 조건 px >[ : 4\ , qx > 2\ 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면 Q
[
:
P
P = " | xx > 4, , Q = " | xx > 2, 이므로 P 1 Q 이다.
따라서 주어진 명제는 참이다. 2 4 x
[
2 ]g 두 조건 px[ : 2 = 16\ , qx = 4\ 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
:
P = - , 44, , Q = ! 4+ 이므로 P 2 Q 이다.
"
따라서 P 1 Y Q 이므로 주어진 명제는 거짓이다.
032 Ⅳ. 집합과 명제
