Page 42 - 수학(하)

2 ]g 사각형 도형으로 증명 b b a a
b $
오른쪽 그림에서 a + g 2 4 ab 이다.
]
b b
0
따라서 a > 0 , b > 일 때, 양변에 근호를 취하면 a a
a + b
a + b $ 2 ab 이므로 양변을 2 로 나누면 2 $ ab 이다.
b
여기서 등호는 a = 일 때 성립한다. a a 유형
b b
02
3 ]g 기본도형으로 증명
a + b
오른쪽 그림에서 CO = DO = 이고 a a b b 명
2
a + b b - a C
b
MO = BM - BO =- = 이다. 제
2 2 D
3 DOM 은 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여
a + b
a + b 2 b - a 2 2
2
2
2
DM = DO - MO = b 2 l - b 2 l = ab 이다.
a + b
따라서 DM = ab 이고 CO $ DM 이므로 2 $ ab 이다.
b
여기서 등호는 a = 일 때 성립한다. A a M O B
a + b b
참고 수열에서 산술평균 은 등차중항이고, 기하평균 ab 는 등비중항이다.
2
4) 코시-슈바르츠의 부등식
2
, ab xy 가 실수일 때, a + b ^ g x + y $ ^h ax + byh (단, 등호는 x = y 일 때 성립)
2
2
2
2
,
,
]
a b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h
h
] a + g x + y - ^h ax + by = ax + ay + bx + by - ^ ax + 2 abxy + by = bx - 2 abxy + ay = ^ bx - ayh 2
b ^
2
2
2
2
따라서 bx - ay $ 0 이므로 a + g x + y $ ^h ax + byh 이다.
2
2
b ^
h
^
]
x y
여기서 등호는 bx - ay = 0 일 때이므로 = 일 때 성립한다.
a b
. 2 두 수 또는 두 식의 대소 관계
1) 근호나 절댓값 기호를 포함한 경우, 제곱의 차 A - B 의 부호를 조사한다.
2
2
0
A > 0 , B > 일 때,
2
2
1 ]g A - B > 0 , A > B
0
2
A - B > 이면 A + g ] B > 이다.
2
0
]
B A - g
0
0
0
이때 A > 0 , B > 에서 A + B > 이므로 A - B > 이다.
따라서 A > B 이다.
2
2
2 ]g A - B = 0 , A = B
0
A - B = 이면 A + g ] B = 이다.
2
0
2
]
B A - g
이때 A > 0 , B > 에서 A + B > 이므로 A - B = 이다.
0
0
0
따라서 A = B 이다.
3 ]g A - B < 0 , A < B
2
2
0
0
A - B < 이면 A + g ] B < 이다.
2
2
]
B A - g
이때 A > 0 , B > 에서 A + B > 이므로 A - B < 이다.
0
0
0
따라서 A < B 이다.
A A
2) 거듭제곱으로 표현되거나 비가 와 같이 간단히 정리되는 경우, 와 1 의 대소를 비교한다.
B B
0
A > 0 , B > 일 때,
A
1 ]g B > 1 , A > B
A
0
B > 1에서 B > 이므로 양변에 B를 곱하면 A > B이다.
2 ]g A = 1 , A = B
B
A
0
B = 1에서 B > 이므로 양변에 B를 곱하면 A = B이다.
3 ]g A < 1 , A < B
B
A
0
B < 1에서 B > 이므로 양변에 B를 곱하면 A < B이다.
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