Page 43 - 수학(하)

예제 11 절대부등식의 증명

두 실수 ,ab 에 대하여 부등식 a - b # a - b 가 성립함을 증명하시오.

1 ]g a < b 일 때
a - b < , 0 a - b > 이므로 a - b < a - b 가 성립한다.
0
2 ]g a $ b 일 때
a - b $ , 0 a - b $ 0 이므로
2
a - b - ] a - b g 2 = ] a - g 2 a + 2 a b - b = a - 2 ab + b - a + 2 ab - b = 2] ab - abg 이다.
2
2
b -
2
2
2
2
그런데 a $ b 이므로 2] ab - ab $ 0 에서 a - b # a - b 가 성립한다.
g
1 ] g , 2 ] g 에서 부등식 a - b # a - b 가 성립한다.
여기서 등호는 ab = ab 일 때이므로 ab $ 이고 a $ b 일 때 성립한다.
0
예제 12 산술평균과 기하평균을 이용하여 최댓값과 최솟값 구하기
x > 0 , y > 일 때, 다음 물음에 답하시오.
0
y
6
1 ]g x += 일 때, xy 의 최댓값을 구하시오. 2 ]g xy = 16 일 때, x + 의 최솟값을 구하시오.
y
x + y 6 개념 다지기
y
6
1 ]g $ xy 에 x += 을 대입하면 $ xy
2 2 산술평균과 기하평균의 관계
3
양변을 제곱하면 9 $ xy (단, 등호는 x = y = 일 때 성립)이다. a > 0 , b > 0 일 때, a + b $ ab
2
따라서 xy 의 최댓값은 9 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립)
b
x + y x + y
2 ]g $ xy 에 xy = 16 을 대입하면 $ 16 = 4 에서
2 2
x + y $ (단, 등호는 x = y = 4 일 때 성립)이다.
8
y
따라서 x + 의 최솟값은 8 이다.
꼼수풀이 등호의 성질 이용

6
1 ]g xy 의 최댓값은 x = y = = 3 일 때이다. 따라서 xy 의 최댓값은 3 # 3 = 이다.
9
2
8
4
y
y
y
2 ]g x + 의 최솟값은 x = 일 때이므로 xy = 16 에서 x = 4 , y = 일 때이다. 따라서 x + 의 최솟값은 4 + 4 = 이다.
예제 13 산술평균과 기하평균을 이용하여 최댓값과 최솟값 구하기
x > 0 , y > 일 때, 다음 물음에 답하시오.
0
1 ]g x2 + y 3 = 12 일 때, xy 의 최댓값을 구하시오. 2 ]g xy = 12 일 때, x + y 3 의 최솟값을 구하시오.
x 2 + y 3 12 개념 다지기
2
1 ]g $ x 2 # y 3 = 6 xy 에 x + y 3 = 12 를 대입하면 $ 6 xy
2 2 산술평균과 기하평균의 관계
양변을 제곱하면 36 $ 6 xy , 6 $ xy (단, 등호는 x = y 3 = 일 때 성립)이다. a + b
2
6
a > 0 , b > 0 일 때, $ ab
2
따라서 xy 의 최댓값은 6 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립)
b
x + y 3
2 ]g $ x # y 3 = 3 xy 에 xy = 12 을 대입하면
2
x + y 3
6
$ 3 # 12 = 36 = 에서
2
x + y 3 $ 12 (단, 등호는 x = y 3 = 일 때 성립)이다.
6
따라서 x + y 3 의 최솟값은 12 이다.
꼼수풀이 등호의 성질 이용

12
2
6
1 ]g xy 의 최댓값은 x2 = y 3 = = 6 일 때이므로 x = 3 , y = 일 때이다. 따라서 xy 의 최댓값은 3 # 2 = 이다.
2
y
2 ]g x + y 3 의 최솟값은 x = y 3 일 때이므로 xy = 12 에 x = y 3 를 대입하면 y # = 12 , y = , 2 x = y 3 = 일 때이다.
3
6
따라서 x + y 3 의 최솟값은 6 + 3 # 2 = 12 이다.
038 Ⅳ. 집합과 명제