Page 41 - 수학(하)

알맹이 콕 !

. 1 절대부등식

) 1 절대부등식
x 가 실수일 때,
, x +
2
2
2 < 이므로 2 <
1 ]g x - 4 < 0 ] 2 ]g x - g 0 - x < 일 때만 성립한다. 따라서 절대부등식이 아니다.
0
2 ]g x + x 2 + 4 > 0 ] 1 + 3 > 이므로 모든 실수 x 에 대하여 성립한다. 따라서 절대부등식이다.
2
2
, x + g
2) 여러 가지 절대부등식
,
임의의 실수 ,ab c 에 대하여
0
2
1 ]g a ! ab + b $ 0 (단, 등호는 a = b = 일 때 성립)
2
a ! ab + b = b a ! b 2 l 2 + 3 2 , b 따라서 a ! b 2 l 2 $ , 0 3 4 b $ 이므로 a ! ab + b $ 0 이다.
2
2
2
2
0
2
b
4
여기서 등호는 a ! b 2 = 0 , b = 일 때이므로 a = b = 일 때 성립한다.
0
0
2 ]g a ! 2 ab + b $ 0 (단, 등호는 a = " b 일 때 성립, 복부호동순)
2
2
a ! 2 ab + b = ] a ! g 2 0 b 0 " b 일 때 성립한다.
2
2
b $ 이다. 여기서 등호는 a ! = 일 때이므로 a =
3 ]g a + b + c - ab - bc - ca $ 0 (단, 등호는 a = b = 일 때 성립)
2
2
c
2
1 1
2
2
2
2
2
2
2
a + b + c - ab - bc - ca = 2 ] a + b 2 + c 2 - 2 ab - 2 bc - 2 g ] " a - g 2 b - g 2 c - ag ,
ca =
c + ]
b + ]
2 2
2
0
2
2
b $
2
2
, b - g
따라서 a - g 2 0 ] c $ 0 ] a $ 이므로 a + b + c - ab - bc - ca $ 0 이다.
]
, c - g
b
c
0
c
c
b
여기서 등호는 a -=-=- a = 일 때이므로 a = b = 일 때 성립한다.
1
1
4 a >
]g 0 일 때, a + a $ 2 (단, 등호는 a = 일 때 성립)
1
1 $
식 a + $ 2 의 양변에 a 를 곱하여 정리하면 a - 2 a + 1 = ] a - g 2 0 이다.
2
a
1
여기서 등호는 a - 1 = 0 일 때이므로 a = 일 때 성립한다.
1 1 1
5 ]g a > 0 , b > 0 일 때, a + b b l b + a l $ 4 (단, 등호는 b = a 일 때 성립)
b
1 1 1 1 1
1
1
b a + b l b + l = ab ++ + = ab + + 2 에서 ab > , 0 > 0 이므로
b a ab ab ab
1 1
1
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ab + + 2 $ 2 ab # + 2 = 2 # + 2 = 4 이다.
ab ab
1 1
따라서 a + b l b + l $ 4 이다.
b
b a
1 1
여기서 등호는 등호는 ab = 일 때이므로 a = 일 때 성립한다.
ab b
6 ]g a + b $ a + b (단, 등호는 ab $ 0 일 때 성립)
2
b =
2
2
2
2
2
2
] a + b g 2 - a + b = a + 2 a b + b - ] a + g 2 a + 2 ab + b - a - 2 ab - b = 2] ab - abg 이다.
2
그런데 ab $ ab 이므로 2] ab - ab $ 0 에서 a + b g 2 $ a + b 이다.
g
]
따라서 a + b $ 0 , a + b $ 0 이므로 a + b $ a + b 이다.
여기서 등호는 ab = ab 일 때이므로 ab $ 0 일 때 성립한다.
3) 산술평균과 기하평균의 관계
a + b
a > 0 , b > 0 일 때, $ ab (단, 등호는 a = b 일 때 성립)
2
1 ]g 부등식으로 증명
2
b
a + b a +- 2 ab ^ a - 2 a b + ^ bh 2 ^ a - bh 2
h
2 - ab = 2 = 2 = 2 $ 0 이다.
a + b a + b
따라서 2 - ab $ 0 이므로 2 $ ab 이다.
여기서 등호는 a - b = 일 때이므로 a = 일 때 성립한다.
b
0
036 Ⅳ. 집합과 명제