Page 38 - 수학(하)

예제 05 명제의 역과 대우의 참, 거짓 판별

2
2
4
명제 x[ = 이면 x = 이다. \ 의 역과 대우를 말하고, 각각의 참, 거짓을 판별하시오.
개념 다지기
:
:
2
두 조건 px = 2 , qx = 4 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
명제 p $ q 의 참, 거짓과 진리집합 사이의 관계 유형
"
P = ! 2+ , Q = - , 22, 이므로 P 1 Q 이다.
두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면 02
2
역 : x = 4 이면 x = 이다.
2
1 ]g P 1 Q 이면 명제 p $ 는 참이다.
q
따라서 Q 1 Y P 이므로 주어진 명제의 역은 거짓이다. 2 ]g P 1 Y Q 이면 명제 p $ 는 거짓이다. 명
q
2
2
대우 : x ! 4 이면 x ! 이다. 제
C
따라서 Q 1 P 이므로 주어진 명제의 대우는 참이다.
C
예제 06 명제의 대우를 이용하여 상수 구하기
2
5
두 실수 ,xy 에 대하여 명제 x[ + y > 이면 x > a 또는 y > 이다. \ 가 참일 때,
실수 a 의 최댓값을 구하시오.
주어진 명제가 참이므로 그 대우 x[ # a 이고 y # 이면 x + y # 이다. \ 도 참이다.
2
5
x # a 이고 y # 이므로 x + y # a + 이다.
2
2
두 조건 px + y # a + 2 , qx + y # 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면 P 1 Q 이어야 한다.
:
:
5
5
따라서 a + 2 # 이므로 실수 a 의 최댓값은 3 이다.
예제 07 충분조건, 필요조건, 필요충분조건
두 조건 ,pq 가 다음과 같을 때, p 는 q 이기 위한 무슨 조건인지 말하시오.
1 ]g p 1 # x # 2 , q : x # 3
:
:
2 ]g px 는 3 의 배수, :qx 는 6 의 배수
3
3 ]g p : x - 1 > 2 , q : x - 1 > x 2
3
두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면
1 ]g P = " | x 1 # x # 2, , Q = " | x - 3 # x # 3, 이므로 P 1 Q 이고 P ! Q 이다.
q
따라서 p ( 이므로 p 는 q 이기 위한 충분조건이다.
,
,
,
,
2 ]g P = " , 369 g, , Q = " , 61218 g, 이므로 P 2 Q 이고 P ! Q 이다.
q
따라서 p ' 이므로 p 는 q 이기 위한 필요조건이다.
3 ]g P = " | xx > 1, , Q = ! x > 1+ 이므로 P = Q 이다.
q
따라서 p , 이므로 p 는 q 이기 위한 필요충분조건이다
예제 08 충분조건, 필요조건이 되는 상수 구하기

다음을 구하시오.
:
1 ]g 두 조건 p 2 # x # 6 , q : x # a 에 대하여 p 가 q 이기 위한 충분조건일 때, 실수 a 의 최솟값
2
2 ]g x - 2 ! 이 x + 2 ax - 16 ! 이기 위한 필요조건일 때, 실수 a 의 값
0
0
1 ]g 두 조건 ,pq 의 진리집합을 각각 ,PQ 라 하면 P = " | x 2 # x # 6, , Q = " | x - a # x # a, 이다.
6
p 는 q 이기 위한 충분조건이므로 P 1 Q 에서 a # 2 , a $ 이다.
-
6
따라서 a $ 이므로 구하는 a 의 최솟값은 6 이다.
[
0
0
2
2 ]g x - 2 ! 이 x + 2 ax - 16 ! 이기 위한 필요조건이므로 명제 x + 2 ax - 16 ! 이면 x - 2 ! 이다.\ 가 참이다.
0
2
0
0
3
0
0
따라서 그 대우인 x[ - 2 = 이면 x + 2 ax - 16 = 이다.\가 참이므로 x = 를 x + 2 ax - 16 = 에 대입하면 a = 이다.
2
2
2
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