Page 40 - 수학(하)

개 념 04 절대부등식

. 1 절대부등식
) 1 절대부등식
유형
문자를 포함한 부등식에서 그 문자가 가질 수 있는 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 02
부등식을 절대부등식이라 한다. 명
2) 절대부등식 증명에 이용되는 실수의 성질 제
임의의 실수 ,ab 에 대하여

0
1 ]g a > 0 , b > 0 , a + b > 0 , ab > 2 ]g a > b , a - b > 0
0
3 ]g a $ 0 , a + b $ 4 ]g a + b = 0 , a = 0 , b = 0
2
2
2
2
2
a a
0
2
5 ]g a = a 2 , ab = ab , = 6 ]g a > 0 , b > 일 때, a > b , a > b 2
2
b b
3) 여러 가지 절대부등식
,
임의의 실수 ,ab c 에 대하여
1 ]g a ! ab + b $ (단, 등호는 a = b = 일 때 성립)
2
0
2
0
0
2
2 ]g a ! 2 ab + b $ (단, 등호는 a = " b 일 때 성립, 복부호동순)
2
2
2
2
0
3 ]g a + b + c - ab - bc - ca $ (단, 등호는 a = b = 일 때 성립)
c
1
4 ]g a > 일 때, a + a $ 2 (단, 등호는 a = 일 때 성립)
0
1
1 1 1
0
5 ]g a > 0 , b > 일 때, a + b b l b + a l $ 4 (단, 등호는 b = a 일 때 성립)
b
0
6 ]g a + b $ a + b (단, 등호는 ab $ 일 때 성립)
4) 산술평균과 기하평균의 관계
a + b
a > 0 , b > 일 때, $ ab (단, 등호는 a = 일 때 성립)
b
0
2
5) 코시-슈바르츠의 부등식
x
2
2
2
2
, ab xy 가 실수일 때, a + b ^ g x + y $ ^h ax + byh (단, 등호는 a = y 일 때 성립)
2
,
,
]
b
2. 두 수 또는 두 식의 대소 관계
) 1 차 A - B 의 부호를 조사한다.
1 ]g A - B > 0 , A > B 2 ]g A - B = 0 , A = B 3 ]g A - B < 0 , A < B
2
2
2) 근호나 절댓값 기호를 포함한 경우, 제곱의 차 A - B 의 부호를 조사한다.
0
A > 0 , B > 일 때,
2
1 ]g A - B > 0 , A > B 2 ]g A - B = 0 , A = B 3 ]g A - B < 0 , A < B
2
2
2
2
2
A A
3) 거듭제곱으로 표현되거나 비가 B 와 같이 간단히 정리되는 경우, B 와 1 의 대소를 비교한다.
0
A > 0 , B > 일 때,
A A A
1 ]g > 1 , A > B 2 ]g = 1 , A = B 3 ]g < 1 , A < B
B B B
참고 부등식 A $ B 가 성립함을 증명할 경우
1 ]g 다항식의 경우에는 A - B 를 완전제곱식으로 변형하여 실수h 2 $ 0 임을 이용한다.
^
2
2
2 ]g 절댓값을 기호를 포함한 식의 경우에는 A - B 으로 변형하여 a $ a 임을 이용한다.
3 ]g 등호가 있을 때에는 등호가 성립하는 경우를 분명히 밝혀야 한다.
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