Page 39 - 수학(하)

개 념 03 명제의 증명

. 1 정의, 증명, 정리
) 1 정의

용어의 뜻을 명확하게 정한 문장을 그 용어의 정의라 한다.
2) 증명
정의, 명제의 가정 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용하여
어떤 명제가 참임을 설명하는 것을 증명이라 한다.

) 3 정리
참이라고 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것이나 다른 명제를 증명할 때, 이용할 수 있는 것을 정리라 한다.

2. 명제의 증명
) 1 대우를 이용한 증명
명제 p $ 가 참이면 그 대우 ~q $ ~p 도 참이므로 어떤 명제가 참임을 증명할 때,
q
그 대우가 참임을 증명하는 방법을 대우를 이용한 증명이라 한다.
2) 귀류법
어떤 명제가 참임을 증명할 때, 명제의 결론을 부정한 다음 참이라고 인정되고 있는 사실이나
그 명제의 가정에 모순이 생기는 것을 보여서 증명하는 방법을 귀류법이라 한다.

예제 09 대우를 이용한 증명

[
2
n 이 자연수일 때, n 이 짝수이면 n 은 짝수이다. \ 가 참임을 증명하시오.
2
주어진 명제의 대우 n[ 이 홀수이면 n 은 홀수이다. \ 가 참임이면 된다. 개념 다지기
n 이 홀수이면 n = k 2 - ^ k는자연수h 로 나타낼 수 있다. 대우를 이용한 증명
1
2
2
2
1 =
2
1
2
이때 n = ] k 2 - g 2 k 4 - k 4 + 1 = ] k 2 - k 2 + 이므로 n 은 홀수이다. 주어진 명제의 대우가 참임을 보여서
g
그 명제가 참임을 증명하는 방법
따라서 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.
예제 10 귀류법을 이용한 증명
명제 [ 3 은 무리수이다. \ 가 참임을 증명하시오.
n
,
실수 3 이 유리수라 가정하면 3 = m ^ mn은서로소인 자연수h 으로 개념 다지기
나타낼 수 있다. 즉 , n = 3 m 이고 양변을 제곱하면 n = 3 m 이다. 귀류법
2
2
결론을 부정하면 모순이 생김을 보여서
2
이때 n 이 3 의 배수이므로 n 도 3 의 배수이다.
주어진 명제가 참임을 증명하는 방법
따라서 n = 3 ^
k k는자연수h 로 나타낼 수 있다.
k 3
2
2
2
이때 n = ]g 2 = 3 m 2 , 즉 m = k 3 이다.
2
여기서 m 이 3 의 배수이므로 m 도 3 의 배수이다.
그러므로 ,mn 이 모두 3 의 배수이므로 ,mn 은 서로소인 자연수라는 가정에 모순이다.
따라서 3 은 무리수이다.
034 Ⅳ. 집합과 명제