Page 59 - 수학(하)

예제 07 일대일함수의 최댓값

,
:
두 집합 X = " , 12, , Y = " , 56 7, 에 대하여 함수 fX $ Y 가 일대일함수일 때,
]
f 1 + ]g f 2g 의 최댓값을 구하시오.
함수 f 가 일대일함수이므로 f 1 = 6 , f 2 = 7 또는 f 1 = 7 , f 2 = 일 때, f 1 + ]g f 2g 가 최댓값을 갖는다.
6
] g
] g
] g
]
] g
]
따라서 f 1 + ]g f 2g 의 최댓값은 6 + 7 = 13 이다.
예제 08 일대일대응
b
]g
정의역이 X = " | x - 1 # x # 2, , 공역이 Y = " | y - 1 # y # 5, 인 함수 f x = ax + 가
일대일대응일 때, 두 양수 ,ab 의 값을 구하시오.
0
f x
함수 f 가 일대일함수이고 a > 이므로 y = ]g 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y
,
그러므로 (치역) = (공역)이려면 그래프는 두 점 - , 1 - 1h , 25h 를 지나야 하므로 5
^
^
1 =-
5
-+
a
b
5
] g
]
f - g 1 , f 2 = 에서 a b =- , 12 += 이다.
5
b
-+
1
따라서 a b =- , 12 += 를 연립하면 a = 2 , b = 이다. - 1
a
O 2 x
- 1
예제 09 항등함수와 상수함수

3
두 함수 ,fg 에 대하여 f 는 항등함수, g 는 상수함수이고 g 2 = 일 때,
]g
g -
] g
f 2 + ] 1g 의 값을 구하시오.
2
함수 f 는 항등함수이므로 f x = x 에서 f 2 = 이다. 개념 다지기
]g
]g
3
1 = 이다.
함수 g 는 상수함수이므로 g x = 에서 g - g 3 항등함수
]
]g
:
x
]g
5
따라서 f 2 + ] 1 = 2 + 3 = 이다. 함수 fX $ X 에서 f x = 인 함수
] g
g - g
상수함수
함수 fX $ Y 에서 f x = (c는 상수)인 함수
:
c
]g
예제 10 함수의 개수
,
,
,
,
두 집합 X = " , 12 34, , Y = " , ab cd, 에 대하여 다음을 구하시오.
1 ]g X 에서 Y 로의 함수의 개수
2 ]g X 에서 Y 로의 함수의 일대일대응의 개수
3 ]g X 에서 Y 로의 상수함수의 개수
,
,
1 ]g 집합 X 의 각 원소에 대응할 수 있는 집합 Y 의 원소는 ,ab cd 의 4 개씩이므로 함수의 개수는
4
4
4 ### 4 = 4 = 256 이다.
4
,
,
2 ]g 1 에 대응할 수 있는 원소는 ,ab cd 중 하나이므로 4 개
2 에 대응할 수 있는 원소는 1 에 대응한 것을 제외한 3 개
3 에 대응할 수 있는 원소는 ,12 에 대응한 것을 제외한 2 개
,
4 에 대응할 수 있는 원소는 ,12 3 에 대응한 것을 제외한 1 개
3
2
따라서 일대일대응의 개수는 4 ### 1 = 24 이다.
,
,
,
,
3 ]g 집합 X 의 원소 ,12 34 모두에 대응할 수 있는 집합 Y 의 원소는 ,ab cd 의 4 개이므로
상수함수의 개수는 4 이다.
054 Ⅴ. 함수와 그래프