Page 61 - 수학(하)

예제 11 합성함수의 함숫값

두 함수 ,fg 가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음을 구하시오. f g
X Y Y X
]
]
1 ]g gf 1% h g 2 ]g gf 2% h g 1 a a 1
^
^
%
%
^
3 ]g gf 3 ] h g 4 ]g gf 4 ] h g 2 b b 2
^
3 c c 3
%
%
^
5 ]g fg a ] h g 6 ]g fg b ] h g
^
4 d d 4
%
%
^
^
7 ]g fg c ] h g 8 ]g fg d ] h g
2
1
1 ]g gf 1 = ^ ] gh g c = 이다. 2 ]g gf 2% h g = ^ ] gh g b = 이다. 개념 다지기
g f 2 = ] g
^
^
g f 1 = ] g
]
]
% h g
2
4
]
^
g f 3 = ] g
^
g f 4 = ] g
% h g
3 ]g gf 3 = ^ ] gh g a = 이다. 4 ]g gf 4% h g = ^ ] gh g d = 이다. 합성함수
]
g f xgh 이다.
% h g
]
b
c
% h g
]
5 ]g fg a = ^ ] gh f 2 = 이다. 6 ]g fg b% h g = ^ ] gh f 1 = 이다. ^ gf x = ^ ]
^
^
]
f g b = ] g
f g a = ] g
d
b
^
% h g
7 ]g fg c = ^ ] gh f 2 = 이다. 8 ]g fg d% h g = ^ ] gh f 4 = 이다.
^
]
]
f g c = ] g
f g d = ] g
예제 12 두 합성함수의 계산
2
1
두 함수 f x =+ 2 , g x = x + 에 대하여 다음을 구하시오.
x
] g
] g
]
]
^
1 ]g gf x% h g 2 ]g fg x% h g 3 ]g ff x% h g 4 ]g gg x% h g
]
^
^
^
]
2 +
2
5
^
g f x = ]
1 ]g gf x = ^ ] gh g x + 2 = ]g x + g 2 1 = x + 4 x + 이다. 개념 다지기
]
% h g
2
2
3
2
1 +
]
f g x = ]
^
% h g
2 ]g fg x = ^ ] gh f x + 1 = ]g x + g 2 = x + 이다. 합성함수
g f xgh 이다.
% h g
4
]
2 +
^
f f x = ]
3 ]g ff x% h g = ^ ] gh f x + 2 = ]g x + g 2 = x + 이다. ^ gf x = ^ ]
]
1 +
2
4
2
2
2
]
% h g
^
4 ]g gg x = ^ ] gh g x + 1 = ]g x + g 2 1 = x + 2 x + 이다.
g g x = ]
예제 13 세 합성함수의 계산
세 함수 f x =- 1 , g x = x + 1 , h x = x 2 에 대하여 다음을 구하시오.
x
2
] g
] g
] g
% hh
^^
^
1 ]g fg% h % h x ] h g 2 ]g f % ^ gh ] 3 ]g h % ^ gf ] 4 ]g hg% h % f x ] h g
^^
xg
xg
% hh
^
2
2
2
1 -
% h g
]
^
1 ]g fg x = ^ ] gh f x + 1 = ]g x + g 1 = x 이므로 개념 다지기
f g x = ]
%
%
2
]
% h
^^ fg % h g f g h x = ^h ] ] gg fg 2 ] h x = ]g x 2 g 2 = 4 x 이다. 합성함수의 결합법칙
h x = ^
,
2
1
^
2 ]g gh x = ] ] gg g x2 = x 2 ] g 2 + 1 = x 4 + 이므로 세 함수 ,fg h 에서
g h x = ] g
]
% h g
%
h
% h
h % ^ gf = ^h hg % 이다.
2
1 -
2
f x4 +
% hh
]
% h gh
f % ^ gh ] g f gh x = ] 2 1 = ]g x 4 + g 1 = 4 x 이다.
^
x = ^^
2
1 +
2
g f x = ]
]
% h g
3 ]g gf x = ^ ] gh g x - 1 = ]g x - g 2 1 = x - x 2 + 이므로
^
h x -
2
4
2
2 =
]
^
h % ^ gf ] g h gf x = ] 2 x 2 + 2 = ]g 2 x - x 2 + g 2 x - 4 x + 이다.
% hh
x = ^^
% h gh
2
1 =
2
2
2
]
% h g
4 ]g hg x = ^ ] gh h x + 1 = ]g 2 x + g x 2 + 이므로
h g x = ]
^
%
4
2
1 +
f x = ^
hg% h % h g h g f x = ^h ^ ] gh hg x - 1 = ]g 2 x - g 2 2 = 2 x - 4 x + 이다.
^^
% h
]
]
%
예제 14 fg% = gf 인 경우 미정계수 구하기
%
2
두 함수 f x = ax + 1 , g x = x 2 + 에 대하여 fg% = gf 가 성립할 때, 실수 a 의 값을 구하시오.
] g
] g
1
2 +
]
% h g
^ fg x = ^ ] gh f x2 + 2 = ]g a x2 + g 1 = 2 ax + 2 a + 이다. 개념 다지기
f g x = ]
4
1 +
^ gf x = ^ ] gh g ax + 1 = ]g 2 ax + g 2 = 2 ax + 이다. 합성함수
g f x = ]
]
% h g
g f xgh 이다.
]
%
% h g
4
따라서 fg% = gf 이므로 ax + 2 a + 1 = 2 ax + 에서 a = 3 이다. ^ gf x = ^ ]
2
2
056 Ⅴ. 함수와 그래프