Page 64 - 수학(하)

개 념 04 역함수

. 1 역함수 f
X Y
) 1 역함수
두 집합 ,XY 에서 함수 fX $ Y 가 일대일대응이면
:
Y 의 각 원소 y 에 대응하는 X 의 원소 x 는 오직 하나 존재한다. x = f - 1 y ^h y = ]g 유형
f x
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f x
이때 Y 의 각 원소 y 에 y = ]g 인 X 의 원소 x 가 대응하면
f - 1 함
Y 를 정의역으로 하고 X 를 공역으로 하는 새로운 함수를
수
얻을 수 있다. 이 새로운 함수를 f 의 역함수라 하며, 이것을 기호로 f - 1 : Y $ X 와 같이 나타낸다.
) 2 역함수가 존재할 조건

함수 :fX $ Y 의 역함수 f - 1 가 존재하려면 f 가 일대일대응, 증가 또는 감소함수일 때이다.

) 3 역함수의 성질
1 ]g 함수 fX $ Y 가 일대일대응일 때, 그 역함수 f - 1 : Y $ X 에 대하여
:
① 역함수의 역함수는 원함수이다. 즉, f ^ - 1 - 1 = f 이다.
h
%
-
1
f x = ]g
② 역함수와 원함수의 합성함수는 항등함수이다. 즉, f ^ - 1 % h ] x x ! Xg , ^ ff h ^ y = ^h y y ! Yh이다.
2 ]g 두 함수 fX $ , Yg Y $ X 가 일대일대응일 때, f
:
:
X Y
그 역함수 f - 1 : Y $ X 에 대하여
g y = 이므로 g =
^ ] gh
]
^
① gf x% h g = x 이면 g f x = ^ h x f - 1 또는 f = g - 1 이다. x y
f x = 이므로 g =
② fg y% hh = y 이면 f g y = ] g y f - 1 또는 f = g - 1 이다. g
^
^ ^ hh
^
%%
hg f
,
3 ]g 세 함수 ,fg h 가 일대일대응일 때,
f g h
그 각각의 역함수 f - 1 , g - 1 , h - 1 에 대하여 X Y Z W
- 1 - 1 - 1
^
① gf% h = f % g 이다.
x y z w
- 1 - 1 - 1 - 1
② hg f%% h = f % g % h 이다.
^
f - 1 g - 1 h - 1
4) 역함수를 구하는 방법
%%
^ hg fh - 1 = f - 1 % g - 1 % h - 1
1단계 주어진 함수가 일대일대응인지 확인한다.
f x
2단계 y = ]g 를 x 에 대하여 정리하여 x = f - 1 y ^h 의 꼴로 나타낸다.
3단계 x = f - 1 y ^h 에서 x 와 y 를 서로 바꾸어 y = f - 1 x ]g 로 만든다. 이때 함수 f 의 치역이
역함수 f - 1 의 정의역이 되고, 함수 f 의 정의역이 역함수 f - 1 의 치역이 된다.
2. 역함수의 그래프 y
f x
함수 y = ]g 의 역함수 y = f - 1 x ]g 가 존재할 때, y = ]g y = x
f x
,
f x
함수 y = ]g 의 그래프 위의 점을 abh 라 하면 f - 1 b ]g
^
b ^ , abh
f a ,
b = ] g a = f - 1 b ] g 이다. y = f - 1 x ]g
그러므로 점 ,bah 는 역함수 y = f - 1 x ]g 위의 점이다. f a ]g
^
,
x
이때 점 abh 와 점 ,bah 는 직선 y = 에 대하여 대칭이다. a ^ , bah
^
^
f a ]g f - 1 b ]g
f x
따라서 함수 y = ]g 의 그래프와 그 역함수 y = f - 1 x ]g 의
O a b x
x
그래프는 직선 y = 에 대하여 대칭이다.
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