Page 63 - 수학(하)

예제 18 합성함수의 그래프 그리기

집합 X = " | x 0 # x # 2, 에서 정의된 y y
2 y = ]g 2 y = ]g
g x
f x
f x
g x
두 함수 y = ]g 와 y = ]g 의 그래프가
각각 오른쪽 그림과 같을 때,
%
합성함수 y = ^ gf x ] h g 의 그래프를 그리시오. O 1 2 x O 1 2 x
주어진 그래프로 부터 y
2 y = ]g
f x
x 2 ] 0 # x # 1g 2 ] 0 # x # 1g
f x = ) , g x = )
] g
] g
- x 2 + 4 1 # x # 2g - x 2 + 4 1 # x # 2g 1
]
]
그러므로
f x #
2 ^ 0 # ] g 1h O 1 1 3 2 x
g f x = *
% h g
^ gf x = ^ ] gh 2 2
]
- 2 ] g 4 1 # ] g 2h
f x +
f x #
^
1 3
g f x = 이므로
f x # 일 때, 0 #
2
^
1 ]g 0 # ]g 1 x # , # x # 이고 gf x% h g = ^ ] gh 2
]
2 2
1
① 0 # x # 일 때, gf x = ^ ] gh 2
g f x =
% h g
^
]
2
3
g f x =
2
② 2 # x # 일 때, gf x% h g = ^ ] gh 2
]
^
1 3
g f x =-
f x + 이므로
f x # 일 때,
2 ]g 1 # ]g 2 # x # , 11 # x # 이고 gf x% h g = ^ ] gh 2 ] g 4
]
^
2 2
1
f x +
g f x =-
1
① 2 # x # 일 때, gf x% h g = ^ ] gh 2 ] g 4 =- 2 x 2 ] g + 4 =- x 4 + 4 y %
^
]
3 2 y = ^ gf x ] h g
4 +
f x +
g f x =-
2 -
② 1 # x # 2 일 때, gf x% h g = ^ ] gh 2 ] g 4 =- ] x 2 + g 4 = x 4 - 4
]
^
%
따라서 1 ] g , 2 ] g 에서 y = ^ gf x ] h g 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
O 1 1 3 2 x
꼼수풀이 등급 UP 05 참조 2 2

f x
1단계 함수 y = ]g 의 그래프가 꺾이는 점을 기준으로 x 의 값의 구간을 나눈다.
2 1 #
함수 y = ]g 가 x = 에서 꺾이므로 정의역의 x 의 구간을 1 0 # x # , 1 ] g x # 로 나눈다.
f x
2
1
] g
]
% h
2단계 x 값의 구간별로 y = ^ gf xg 의 그래프를 그린다. y
%
2 y = ^ gf x ] h g
1
1 0 #
]g x # 일 때
f x
f x # 이므로
y = ]g 는 증가함수이고, 0 # ]g 2
2
g x
y = ]g 의 0 # x # 의 부분을 그린다.
O 1 1 x
%
그러므로 y = ^ gf x ] h g 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 2
%
2 1 #
2
]g x # 일 때 y y = ^ gf x ] h g
2
f x
f x # 이므로
y = ]g 는 감소함수이고, 0 # ]g 2
g x
y = ]g 의 0 # x # 의 부분을
2
y 축에 대칭시킨 후 그린다.
O 1 3 2 x
2
%
그러므로 y = ^ gf x ] h g 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y y = ^ gf x ] h g
%
%
따라서 1 ] g , 2 ] g 에서 y = ^ gf x ] h g 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 2
O 1 1 3 2 x
2 2
058 Ⅴ. 함수와 그래프