Page 65 - 수학(하)

예제 19 역함수가 존재하는 그래프

다음 중에서 역함수를 갖는 함수의 그래프인 것을 모두 찾으시오.
y y y y
1 ]g 2 ]g 3 ]g 4 ]g

O x O x O x O x
y y y y
5 ]g 6 ]g 7 ]g 8 ]g

O x O x
O x O x

역함수가 존재하려면 함수가 일대일대응, 증가 또는 감소함수이어야 한다.
따라서 증가함수인 1 ]g 번과 감소함수인 2 ]g 번이 역함수를 가진다.

예제 20 역함숫값

오른쪽 그림과 같은 함수 fX $ Y 에 대하여 f
:
X Y
다음을 구하시오. 1 5
1 ]g f - 1 6 ]g 2 ]g f ^ - 1 - 1 3 ] g 2 6
h
%
1
-
5 ]
3 ]g f ^ - 1 % f 1 ] h g 4 ]g ff h g 3 7
^
4 8
1 ]g f - 1 ]g 2 개념 다지기
6 = 이다.
역함수의 성질
5
g
2 ]g f ^ - 1 - 1 ] 3 = ]g f 3 = 이다.
h
1 ]g f ^ - 1 - 1 ] x = ]g f xg 이다.
h
8 = 이다.
f 1 =
f 1 =
]
3 ]g f ^ - 1 % h g f - 1 ^ ] gh f - 1 ] g 1 - 1 - 1
f x =
f x =
]
2 ] g f ^ % h g f ^ ] gh x 이다.
4 ]g ff% - 1 ] h g f f ^ - 1 ] gh f 3 = 이다. 3 ] g ^ ff h g f f - 1 ] gh x 이다.
%
x =
1
-
5 =
5
]
x = ^
^
5 = ] g
예제 21 역함숫값
1 3
함수 f x = x + 의 역함수를 구하시오.
]g
2 2
1단계 주어진 함수가 일대일대응인지 확인한다.
주어진 함수는 일대일대응이므로 역함수가 존재한다.
2단계 y = ]g 를 x 에 대하여 정리하여 x = f - 1 y ^h 의 꼴로 나타낸다.
f x
1 3
y = 2 x + 2 라 하고 x 에 대하여 정리하면 x = y 2 - 이다.
3
3단계 x = f - 1 y ^h 에서 x 와 y 를 서로 바꾸어 y = f - 1 x ]g 로 만든다.
x 와 y 를 서로 바꾸면 y = x 2 - 이다.
3
x =
3
따라서 주어진 함수의 역함수는 f - 1 ]g 2 x - 이다.
예제 22 역함수
함수 f x = ax + 에 대하여 f 1 = 5 , f - 1 ] g 2 b
b
7 = 일 때, 실수 ,ab 에 대하여 a + 의 값을 구하시오.
]g
] g
5
f 1 = 이므로 a += 이고, f - 1 ]g 2 ]g 7 이므로 a2 += 7 이다. 개념 다지기
5
7 = 에서 f 2 =
b
b
]g
a
b
따라서 a += , 52 += 7 을 연립하면 역함수의 성질
b
f - 1 ]g b ]g a 이다.
a = 이면 f b =
a = 2 , b = 이므로 a += 2 + 3 = 이다.
3
b
5
060 Ⅴ. 함수와 그래프