Page 22 - 수학(상)

예제 01 항등식의 계수비교법

,
다음 등식이 x 에 대한 항등식이 되도록 상수 ,ab c 의 값을 구하시오.
2
2
1 ]g ax + x 2 + 3 = x 2 + bx + c
a x -
x
2
2 +
2 ] g x 3 ++ 2 = ] 1 + ]g 2 b x - g c
단원
1 ]g x 에 대한 항등식이므로 계수를 비교하면 a = 2 , b = 2 , c = 이다. 개념 다지기 02
3
2 ]g 주어진 등식의 우변을 전개한 후 x 의 내림차순으로 정리하면 계수비교법 나
2
a
x3 ++ 2 = ax - 2 ax ++ bx - b 2 + = ax - ] 2 a - b x + ]g a - b 2 + cg 이므로 항등식의 양변의 계수를 머
2
x
c
2
지
이 등식은 x 에 대한 항등식이므로 계수를 비교하면 비교하여 계수를 구한다.
정
b
a
c
2
a = , 32 - =- 1 , a - b 2 + = 에서 a = 3 , b = 7, c = 13 이다. 리
와
인
예제 02 항등식의 수치대입법
수
분
,
다음 등식이 x 에 대한 항등식이 되도록 상수 ,ab c 의 값을 구하시오. 해
2
1 +
1 ] g ax + x 2 - 1 = ] x - 1 + ]g 2 b x - g c
a x -
2
2 +
2 +
]
]
2 ] g x 2 - x 3 + 4 = ] 1 ]g x - g bx x - g cx x + 1g
1
1 ]g 이차항의 계수가 1 이므로 a = 이다.
개념 다지기
양변에 x = 을 대입하면 a +- 1 = c 에서 c = 1 + - 1 = 이다.
1
2
2
2
수치대입법
양변에 x = 을 대입하면 1 1 -+ c 에서 b = 1 + + c = 2 + 2 = 4 이다.
b
-=
0
1
문자에 적당한 수를 대입
따라서 a = 1 , b = 4, c = 이다. 하여 계수를 구한다.
2
P
0
2
1 # -
2 ]g 양변에 x = 을 대입하면 4 = a # - g ] 2g 에서 a = 이다.
]
6
2
양변에 x = 를 대입하면 8 -+ 4 = c 6 에서 c = 이다.
1
이차항의 계수가 2 이므로 a ++ = 에서 b = 2 - a -= 2 -- 1 =- 이다.
b
c
c
2
1
2
따라서 a = 2 , b =- 1 , c = 이다.
1
예제 03 항등식의 여러 가지 표현
다음 등식에서 ,ab 의 값을 구하시오.
0
1 ]g 등식 k - 1g a + ] k 2 + 1g b -- 5 = 이 k 의 값에 관계없이 항상 성립할 때
k
]
y b -
2 ]g 모든 실수 ,xy 에 대하여 등식 x2 + y a + ^h x + h x 4 - y 3 = 이 항상 성립할 때
0
^
1 ]g 주어진 등식이 k 의 값에 관계없이 성립하므로 k 에 대한 항등식이다. 개념 다지기
등식의 좌변을 k 에 대하여 정리하면 k 에 대한 항등식을 나타내는 여러가지 표현
k
k
a
0
b
k - 1g a + ] k 2 + 1g b -- 5 = ak - + 2 bk + -- 5 = 에서 ) 1 k 의 값에 관계없이 항상 성립한다.
]
) 2 임의의 k 값에 대하여 항상 성립한다.
a + b 2 - 1g k - ] a -+ g 0
b
5 = 이므로 계수를 비교하면
]
) 3 모든 k 값에 대하여 항상 성립한다.
a + b 2 - 1 = 0 , a - + 5 = 이므로 a =- 3 , b = 이다.
2
b
0
) 4 어떤 k 의 값에 대하여도 항상 성립한다.
2 ]g 주어진 등식이 모든 실수 ,xy 에 대하여 성립하므로
,xy 에 대한 항등식이다.
등식의 좌변을 ,xy 에 대하여 정리하면
y b -
2 + y a + ^h x + h x 4 - y 3 = 2 ax + ay + bx + by - x 4 - y 3 = 에서
x
0
^
a2 +- 4g x + ] a +- 3g y = 0 이므로 계수를 비교하면
b
b
]
0
b
2
a2 +- 4 = 0 , a + - 3 = 이므로 a = 1 , b = 이다.
b
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