Page 24 - 수학(상)

꼼수풀이 x = 대입 ( i 의 성질은 유형 03 참조)
i

2
2
i
3
2
f x = x + ax + bx + 4 = ] x + 1g Q x + 로 놓고 x = 를 대입하면 f i =- -+ bi + 4 = -+ 1g Q i + 에서
2
a
1
i
] g
] g
]
] g
] g
1
2
] 4 - g b - 1g i = 이므로 양변의 계수를 비교하면 4 - a = 2 , b - 1 = 0 에서 a = 2 , b = 이다.
a + ]
패턴 .2 다항식 P x 가 인수분해되는 경우
]g
예 다항식 f x 를 x - 로 나누었을 때의 나머지가 2 이고 x - 로 나누었을 때의 나머지가 3 일 때, 단원
1
2
]g
02
2
f x 를 x - 3 x + 로 나누었을 때의 나머지 R x 를 구해 보자.
2
]g
]g
나
b
2
,
2
1단계 다항식 f x ]g 를 x - x 3 + 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + 라 하면
]g
머
b
2
] g
] g
f x = ] x - x 3 + 2g Q x + ax + = ] x - 1 ]g x - 2g Q x + ax + b gg ① 지
] g
1
2단계 주어진 조건에서 f x ]g 를 x - 로 나눈 나머지가 2 이므로 정
리
l
2
1
] g
l] g
f x ]g 를 x - 로 나눈 몫을 Q x ]g 라 하면 f x = ] x - 1g Q x + 가 성립한다.
와
1
b
따라서 f 1 = 이므로 ①의 식에 x = 을 대입하면 f 1 = a + = 2 gg ②
2
]g
]g
인
2
3단계 주어진 조건에서 f x ]g 를 x - 로 나눈 나머지가 3 이므로
수
3
2
f x ]g 를 x - 로 나눈 몫을 Q x 라 하면 f x = ] x - 2g Q x + 이 성립한다. 분
] g
m] g
m]g
따라서 f 2 = 이므로 ①의 식에 x = 를 대입하면 f 2 = 2 a + = 3 gg ③ 해
2
b
3
]g
]g
1
따라서 ②, ③에서 a = 1 , b = 이므로 R x = x + 이다.
1
]g
패턴 .3 다항식 P x 가 인수분해되지 않고 차수가 증가 되는 경우
]g
2
1
1
1
예 다항식 f x 를 x + 로 나누었을 때의 나머지가 x + 이고, x - 로 나누었을 때의 나머지가 4 일 때,
]g
2
이 다항식 f x 를 x + 1 ]g x - 1g 로 나누었을 때의 나머지 R x 를 구해 보자.
]g
]
]g
c
1단계 f x ]g 를 x + 1 ]g x - 1g 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + bx + 라 하면
2
2
,
]
]g
2
c
2
] g
f x = ] x + 1 ]g x - 1g Q x + ax + bx + 가 성립한다.
] g
2
1
1
2단계 주어진 조건에서 f x ]g 를 x + 로 나눈 나머지가 x + 이므로
c
2
2
2
1
2
f x = ] x + 1 ]g x - 1g Q x + ax + bx + 에서 x + 1 ]g x - 1g Q x ] g 는 x + 로 나누어떨어지므로
]
] g
] g
c
2
x
1
c
2
1
1
2
ax + bx + 를 x + 로 나눈 나머지가 x + 이다. 즉 ax + bx + = ] 2 1 ++ 이다.
a x + g
c
2
2
x
2
a x + g
] g
] g
f x = ] x + 1 ]g x - 1g Q x + ax + bx += ] x + 1 ]g x - 1g Q x + ] 2 1 ++ 1 gg ①
] g
1
3단계 주어진 조건에서 f x ]g 를 x - 로 나눈 나머지가 4 이므로
l
1
4
f x ]g 를 x - 로 나눈 몫을 Q x ]g 라 하면 f x = ] x - 1g Q x + 가 성립한다.
l] g
] g
따라서 f 1 = 4 이므로 ①의 식에 x = 을 대입하면
1
]g
f 1 = a # ] 1 + g 1 1 = 4 에서 a = 이다.
1
1 ++
] g
x
1 ++
2
2
2
x
a x + g
따라서 R x = ] 2 1 ++ 1 = 1 # ] x + g x 1 = x ++ 이다.
] g
꼼수풀이 x = 대입 ( i 의 성질은 유형 03 참조)
i

1단계 f x ]g 를 x + 1 ]g x - 1g 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + bx + 라 하면
,
c
2
2
]g
]
2
2
f x = ] x + 1 ]g x - 1g Q x + ax + bx + c gg ①
] g
] g
1
2
1
2단계 주어진 조건에서 f x ]g 를 x + 로 나눈 나머지가 x + 이므로
x
l
1
2
2
f x ]g 를 x + 로 나눈 몫을 Q x ]g 라 하면 f x = ] x + 1g Q x ++ 1 gg ②
l] g
] g
따라서 ① = ②이므로
c
2
1
2
2
x
i
] g
f x = ] x + 1 ]g x - 1g Q x + ax + bx += ] x + 1g Q x ++ 에 x = 를 대입하면
] g
l] g
f i =- + bi + = bi + ] c - g i 1 1 , c - a = 1 gg ③
a =+ 이므로 계수를 비교하면 b =
a
c
] g
1
3단계 주어진 조건에서 f x ]g 를 x - 로 나머지가 4 이므로
1
4
m]g
m] g
f x ]g 를 x - 로 나눈 몫을 Q x 라 하면 f x = ] x - 1g Q x + 가 성립한다.
] g
1
따라서 f 1 = 4 이므로 ①의 식에 x = 을 대입하면
]g
c
b
f 1 = a + += 4 gg ④
]g
2
x
2
따라서 ③, ④를 연립하여 풀면 a = 1 , b = 1 , c = 이므로 R x = x ++ 이다.
2
]g
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