Page 23 - 수학(상)

개 념 02 나머지정리와 인수정리

. 1 나머지정리

다항식 f x ]g 를 일차식 x - a 로 나누었을 때의 몫을 Q x ]g 나머지를 R 라 하면
,
f x = ] x - ag Q x + R 가 성립한다. 이 등식은 x 에 대한 항등식이므로 양변에 x = a 를 대입하여
] g
] g
f a
나머지 R = ]g 를 쉽게 구할 수 있다. 이와 같이 다항식을 일차식으로 나누었을 때의
나머지를 나눗셈을 하지 않고 쉽게 구하는 방법을 나머지정리라 한다.

. 2 나머지정리의 네가지 패턴
,
다항식 f x ]g 를 다항식 P x ]g 로 나누었을 때의 몫을 Q x ]g 나머지를 R x ]g 라 하면
f x = P x Q x + ]g ] g R xg 가 성립한다.
]
] g
이때 다항식 P x ]g 의 형태에 따라 다음과 같이 네가지의 패턴으로 나눌 수 있다.
패턴 .1 다항식 P x 가 인수분해되지 않는 경우
]g
나눗셈의 원리를 이용하여 항등식을 세운 후 미정계수법으로 미지수를 구한다.

패턴 .2 다항식 P x 가 인수분해되는 경우
]g
다항식 P x ]g 를 인수분해한 후 나머지정리를 이용하여 미지수를 구한다.
패턴 .3 다항식 P x 가 인수분해되지 않고 차수가 증가되는 경우
]g
다항식 P x ]g 를 주어진 조건에 맞춘 후 미정계수법으로 미지수를 구한다.
패턴 .4 다항식 P x 가 x - ag 과 같이 완전제곱형인 경우
n
]
]g
f a = R ag 의 성질을 이용하여 미지수를 줄여 나면서 미지수를 구한다.
] g
]
. 3 인수정리

f a
나머지정리로부터 다항식 f x ]g 를 일차식 x - a 로 나누었을 때의 나머지는 R = ]g 이므로
f x ]g 가 x - a 로 나누어 떨어지면 R = ]g 0
f a = 이다.
f a = 이면 다항식 f x ]g 는 x -
거꾸로 R = ]g 0 a 로 나누어 떨어진다.
이와 같은 성질을 인수정리라 한다.

알맹이 콕 !

. 1 나머지정리의 네가지 패턴
다항식 f x ]g 를 다항식 P x ]g 로 나누었을 때의 몫을 Q x ]g 나머지를 R x ]g 라 하면
,
f x = P x Q x + ]g ] g R xg 가 성립한다.
]
] g
이때 다항식 P x ]g 의 형태에 따라 다음과 같이 네가지의 패턴으로 나눌 수 있다.
패턴 .1 다항식 P x 가 인수분해되지 않는 경우
]g
2
3
예 다항식 f x = x + ax + bx + 를 x + 로 나누었을 때의 나머지가 2 일 때, 상수 ,ab 를 구해 보자.
2
4
1
]g
1단계 다항식 f x = x + ax + bx + 를 x + 로 나눈 몫을 x + 라 하면
2
3
2
1
p
4
]g
2
f x = x + ax + bx + 4 = ] x + g x + h 2 = x + px + ++ 가 성립한다.
p +
3
2
2
3
2
x
p
1 ^
] g
2
2
3
2단계 등식 f x = x + ax + bx + 4 = x + px ++ + 는 x 에 대한 항등식이므로
3
2
p
x
]g
양변의 계수를 비교하면 a = , p b = 1 , p + 2 = 4 에서 a = 2 , b = 이다.
1
018 Ⅰ. 다항식