Page 26 - 수학(상)
P. 26
예제 06 다항식 P x 가 인수분해되지 않고 차수가 증가되는 경우
]g
1
x
2
다항식 f x ]g 를 x - 로 나누었을 때의 나머지가 ,8 x -+ 로 나누었을 때의 나머지가 x - , 2
1
1
2
3
x + 로 나누었을 때의 몫이 x + 일 때, f x ]g 를 구하시오.
2
1
3
1단계 주어진 조건에서 f x ]g 를 x + 로 나눈 몫이 x + 이므로 개념 다지기 단원
나머지를 ax + bx + 라 하면 다항식 P x 의 차수가 증가되는 경우 02
c
2
]g
2 +
2
3
] g
f x = ] x + 1 ]g x + g ax + bx + c 다항식 P x ]g 를 주어진 조건에 맞춘 후 나
x
2
2
2 +
c
= ] x + 1 ]g x - + 1 ]g x + g ax + bx + 가 성립한다. 미정계수법으로 미지수를 구한다. 머
지
1
2
x
2
2단계 주어진 조건에서 f x ]g 를 x -+ 로 나눈 나머지가 x - 이므로
정
2
2
c
x
2
2 +
x
]
f x = ] x + 1 ]g x - + 1 ]g x + g ax + bx + 에서 x + 1 ]g x - + 1 ]g x + 2g 는 리
] g
1
x
x -+ 로 나누어떨어지므로 ax + bx + 를 x -+ 로 나눈 나머지가 x - 이다. 와
c
x
2
2
2
2
1
2
즉 ax + bx + = ] 2 x 1 +- 이다. 인
x
c
2
a x -+ g
수
2
2 +
c
2
x
3
3
1 +-
] g
f x = ] x + 1 ]g x + g ax + bx += ] x + 1 ]g x + 2 + ]g a x -+ g x 2 gg ①
분
8
1
3단계 주어진 조건에서 f 1 = 이므로 ①의 식에 x = 을 대입하면 해
]g
3
f 1 = 2 # + a - 1 = 에서 a = 이다.
3
8
]g
1 +-
3
x
2
3
4
2
3
x
] g
따라서 f x = ] x + 1 ]g x + 2 + ]g 3 x -+ g x 2 = x + 2 x + 3 x -+ 이다.
n
예제 07 다항식 P x 가 x - ag 과 같이 완전제곱형인 경우
]
]g
2
다항식 f x = x - x 3 + 를 x - 1g 로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.
5
4
]
]g
1단계 f x = x - x 3 + 를 x - 1g 로 나눈 몫을 Q x ]g 개념 다지기
5
4
,
2
]g
]
b
나머지를 R x = ax + 라 하면 다항식 P x 가 완전제곱형인 경우
]g
]g
]
f x = x - x 3 + 5 = ] x - 1g 2 Q x + ax + b gg ① f a = R ag 의 성질을 이용하여
4
] g
] g
] g
3
①의 식에 x = 을 대입하면 f 1 = 1 - + 5 = a + 에서 미지수를 줄여 나면서
1
b
]g
미지수를 구한다.
b
a += 3 , b = 3 - a gg ②
①의 식에 ②를 대입하면
4
3
f x = x - x 3 + 5 = ] x - 1g 2 Q x + ax + - a = ] x - 1g 2 Q x + ] 1 + 3
] g
] g
] g
a x - g
3
2단계 x - x 3 + 5 = ] x - 1g 2 Q x + ] 1 + 에서 3 을 좌변으로 이항하면
4
a x - g
] g
3
2
a x -
x
4
x - x 3 + 2 = ] x - 1 ]g x + x +- 2 = ]g x - 1g 2 Q x + ] 1 = ]g x - g" x - 1g Q x + a, 에서
] g
1 ]
] g
2
3
x + x + - 2 = ] x - 1g Q x + a gg ③
x
] g
1
1
1
③의 식에 x = 을 대입하면 a = 1 + +- 2 = 이다.
1
1
2
②의 식에 a = 을 대입하면 b = 3 - 1 = 이다.
2
따라서 a = 1 , b = 이므로 R x = x + 2 이다.
]g
꼼수풀이 미분 이용 (등급 UP 01 참조)
1단계 f x = x - x 3 + 를 x - 1g 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + 라 하면
5
2
,
4
b
]g
]g
]
f x = x - x 3 + 5 = ] x - 1g 2 Q x + ax + b gg ①
4
] g
] g
b
b
1
①의 식에 x = 을 대입하면 f 1 = 1 - + 5 = a + 에서 a += 3 , b = 3 - a gg ②
3
]g
2
3
2단계 ①의 식의 양변을 x 에 대하여 미분하면 x 4 - 3 = ] x - 1g Q x + ] x - 1g 2 Q x + a gg ③
] g
l] g
1
③의 식에 x = 을 대입하면 a = 4 - 3 = 이다.
1
2
②의 식에 a = 을 대입하면 b = 3 - 1 = 이다.
1
2
따라서 a = 1 , b = 이므로 R x = x + 2 이다.
]g
021
