Page 25 - 수학(상)

패턴 .4 다항식 P x 가 완전제곱형인 경우
]g
2
예 다항식 f x = x + 를 x - 2g 로 나누었을 때의 나머지를 구해 보자.
4
2
]
]g
4
b
,
2
2
1단계 f x = x + 를 x - 2g 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + 라 하면
]g
]
]g
f x = x + 2 = ] x - 2g 2 Q x + ax + b gg ①
4
] g
] g
b
①의 식에 x = 를 대입하면 f 2 = 2 + 2 = 2 a + 에서 b = 18 - 2 a gg ②
2
4
]g
4
①의 식에 ②를 대입하면 f x = x + 2 = ] x - 2g 2 Q x + ax + 18 - 2 a = ] x - 2g 2 Q x + ] 2 + 18
a x - g
] g
] g
] g
a x -
4
4
2단계 x + 2 = ] x - 2g 2 Q x + ] 2 + 18 에서 18 을 좌변으로 이항하면 x - 16 = ] x - 2g 2 Q x + ] 2g ,
a x - g
] g
] g
2
2
2
2
x - 16 = ] x - 2 ]g x + 2 ]g x + 2 = ]g x - g" x - 2g Q x + a, 에서 x + 2 ]g x + 2 = ]g x - 2g Q x + a gg ③
4
] g
] g
2 ]
]
2 2 +
2
2
g
③의 식에 x = 를 대입하면 a = ] 2 + g ] 2 2 = 32 이고
②의 식에 a = 32 를 대입하면 b = 18 - 2 a = 18 - 2 # 32 =- 46 이다.
따라서 a = 32 , b =- 46 이므로 R x = 32 x - 46 이다.
]g
꼼수풀이 미분 이용 (등급 UP 01 참조)

2
2
4
1단계 f x = x + 를 x - 2g 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + 라 하면
,
b
]g
]g
]
4
f x = x + 2 = ] x - 2g 2 Q x + ax + b gg ①
] g
] g
b
①의 식에 x = 를 대입하면 f 2 = 2 + 2 = 2 a + 에서 b = 18 - 2 a gg ②
4
2
]g
2단계 ①의 식의 양변을 x 에 대하여 미분하면 x 4 3 = 2] x - 2g Q x + ] x - 2g 2 Q x + a gg ③
l] g
] g
2
3
③의 식에 x = 를 대입하면 a = 4 # 2 = 32 이다.
②의 식에 a = 32 를 대입하면 b = 18 - 2 a = 18 - 2 # 32 =- 46 이다.
따라서 a = 32 , b =- 46 이므로 R x = 32 x - 46 이다.
]g
. 2 인수정리
일차식으로 나눈 나머지가 0 인 경우는 인수정리를 이용한다. 다음 ①, ②, ③은 갖은 의미이다.
① 다항식 f x ]g 가 일차식 x - a 로 나누어 떨어진다. ② 다항식 f x ]g 는 x - a 를 인수로 갖는다. ③ f a = 이다.
0
]g
2
2
3
예 다항식 f x = x - ax + bx - 가 x - 1 , x - 를 인수로 가질 때, 상수 ,ab 를 구해 보자.
2
]g
0
f 1 = 0 , f 2 = 이므로 f 1 = 1 - a +- 2 = 에서 a -=- 1 gg ①
b
0
b
] g
]g
] g
0
f 2 = 8 - 4 a + b 2 - 2 = 에서 a2 -= 3 gg ②
b
]g
따라서 ①, ②에서 a = 4 , b = 이다.
5
예제 04 다항식 P x 가 인수분해되지 않는 경우
]g
x
1
1
2
1
3
2
다항식 x + ax + bx + 을 x ++ 로 나눈 나머지가 x + 일 때, 상수 ,ab 의 값을 구하시오.
1단계 다항식 x + ax + bx + 을 x ++ 로 나눈 몫을 x + 라 하면 개념 다지기
2
3
1
p
1
x
2
2
x + ax + bx + 1 = ] x ++ g x + h x 1 다항식 P x 가 인수분해되지 않는 경우
3
2
x
p ++ 이 성립한다.
1 ^
]g
2단계 이 등식은 x 에 대한 항등식이므로 우변을 전개하면 나눗셈의 원리를 이용하여
1
3
2
2
x + ax + bx + 1 = x + ^ p + 1h x + ^ p + 2h x ++ 이다. 항등식을 세운 후 계수비교법으로
3
p
2
따라서 양변의 계수를 비교하면 p = 이므로 a = 1 , b = 이다. 상수 ,ab 의 값을 구한다.
0
예제 05 다항식 P x 가 인수분해되는 경우
]g
2
3
다항식 f x = x + ax - bx - 를 x - 로 나누었을 때 나누어떨어지고,
1
2
]g
2
x - 로 나누었을 때의 나머지가 12 일 때, 상수 ,ab 의 값을 구하시오.
0
1단계 주어진 조건에서 f 1 = 이므로 f 1 = 1 + a -- 2 = 에서
b
0
]g
]g
개념 다지기
a -= 1 gg ① 다항식 P x 가 인수분해되는 경우
b
]g
2단계 주어진 조건에서 f 2 = 12 이므로 f 2 = 8 + 4 a - b 2 - 2 = 12 에서 다항식 P x ]g 를 인수분해한 후
]g
]g
a2 -= 3 gg ② 나머지정리를 이용하여
b
1
따라서 ①, ②에서 a = 2, b = 이다. 미지수를 구한다.
020 Ⅰ. 다항식