Page 17 - PROJECT_KEL 1_STRUKBAR_PSPM E 2019

=

Kita tahu , ∈ dan G suatu grup maka ∈ berarti Nab adalah koset kanan N dalam G

⇐ Diketahui untuk setiap , , ∈ berlaku = . Dibuktikan N subgroup normal dari

G

Ambil ∈ karena = maka ( )( ) = atau ab=c, maka

= ( )∀ , ∈

Jika diambil = −1 , maka

−1 = ( −1 )

−1 =

−1 =

−1 =

Hal ini menunjukkan N adalah subgroup normal dari G

Teorema 4. Setiap subgroup dari grup komutatif merupakan subgroup normal

Pembuktian

Misalkan G grup komutatif dari H sebarang subgroup dari G. Ambil sebarang ∈ maka

= { ℎ|ℎ ∈ } = {ℎ |ℎ ∈ } = , karena G komutatif sehingga gh=hg. Menurut
teorema 2, maka H subgroup normal

D. CONTOH SUBGRUP

Contoh 1

GL (2 ,R) ={[ ]| , , , ∈ , − ≠ 0}

1 0
Dengan operasi perkalian matriks, G membentuk grup dengan elemen identitasnya [ ]
0 1

SL (2 ,Z) ={[ ] | , , , ∈ , − = 1}

Apakah SL (2,Z) merupakan subgrup dari GL (2, R)?

13