Page 14 - PROJECT_KEL 1_STRUKBAR_PSPM E 2019

Perhatikan : abx=a xb =x ab dan ab ∈ G ( berlaku sifat tertutup pada G ) . Jadi ab ∈ G ( berlaku

sifat tertutup pada G ) . jadi ab ∈ Z (G ) ( Terbukti )

-1
Ambil a ∈ Z ( G) menurut definisi a x = x a , Ɐ x ∈ G , karena G pada grup maka a ∈ G

Perhatikan a x = x a

-1
-1
a (a x)a =a (x a )a -1
-1
-1 -1 -1 -1
( a a) x a = a x (a a )

ex a = a x e
-1
-1
-1
-1
x a = a x
terbukti a ∈ Z(G)
-1

Karena kedua sifat dari teorema A-1 Dipenuhi maka terbukti bahwa Z(G) merupakan subgroup

dari G

Defenisi A-3

Centralizer dari a dalam grup G ditulis C (a) = {g ∈ G| a g = g a}

Teorema A-8

C(a) merupakan subgroup dari G

Bukti:

Akan ditunjukkan C(a) adalah subgroup dari G

( ) ≠ ∅ karena ada ∈ yang memenuhi = , maka

( ) ⊂ , ambil sebarang , ∈ ( ), maka = dan =

Perhatikan

( −1 ) = ( −1 )

= ( −1 ) ( −1 )

−1
= ( −1 )( )

10