Page 16 - PROJECT_KEL 1_STRUKBAR_PSPM E 2019

Jika −1 = maka −1 ⊂ , ∀ ∈ , sehingga menurut ekuivalensi definisi di atas N

merupakan subgroup normal dalam G

Teorema 2. Subgrup N dalam G merupakan subgroup normal jika dan hanya jika setiap koset

kiri N dalam G juga merupakan koset kanan ( = )

Pembuktian :

⟹ Diketahui N subgroup normal dalam G. Akan dibuktikan koset kanan sama dengan koset

kiri dari N

N subgroup normal maka untuk setiap ∈ berlaku −1 = .

−1
Sehingga : ( ) = atau =
Jadi setiap koset kiri juga merupakan koset kanan

⇐ Diketahui = untuk setiap ∈ . Dibuktikan N subgroup normal dalam G

Ambil ∈ maka = ∈

Ng adalah satu-satunya koset kanan yang memuat g oleh karenanya Ng tunggal untuk suatu

∈

Karena = maka untuk setiap ∈ berlaku −1 = ( ) −1 =

Hal ini berarti N ubgrup normal dari G

Teorema 3. Jika N suatu subgroup dari G, N merupakan subgroup normal jika dan hanya jika

hasil kali dua koset kanan dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G lagi

Pembuktian

⟹ diketahui N subgroup normal dalam G. Dibuktikan berlaku hasil kali dua koset kanannya
berupa koset kanan lagi

N subgroup normal dari G maka Na=An untuk setiap ∈

Sedangkan untuk setiap , ∈ berlaku

= ( )

= ( )

= ( )

12