Page 11 - PROJECT_KEL 1_STRUKBAR_PSPM E 2019

a-b=a+(-b) =2m+(-2n)

=2(m-n),k =(m-n) ∈ Z

= 2k ∈ H ( sifat dari teorema A-2 dipenuhi) .

Teorema A-3

Suatu himpunan bagian H tidak kosong dari G dikatakan subgroup dari (G,*) jika dan hanya

jika;

1.H tertutup terhadap operasi biner *

2.unsur identitas e ∈ G ada dalam H ( e ∈ G maka e ∈ H)

-1
3.Ɐ a ∈ H maka a ∈ H

Pembutktian:

Bukti teorema di atas dapat diperjelas sebagai berikut:
H ≠ ∅ ⊆ G

Akan ditunjukkan:
a. Jika H subgrup dari 〈G, ∗〉 maka dipenuhi 1, 2 dan 3.

b. Jika dipenuhi 1, 2 dan 3 maka H subgrup dari 〈G, ∗〉.

Berdasarkan hal di atas akan kita buktikan:
Bukti a:

Karena H merupakan subgrup dari 〈G, ∗〉 maka menurut defenisi A-1 subgrup, H memenuhi

keempat aksioma grup. Dengan demikian maka H memenuhi sifat 1, 2 dan 3. Dapat
disimpulkan bahwa terbukti jika H subgroup dari 〈G, ∗〉 maka berlaku 1, 2 dan 3

Bukti b:

 Ambil sembarang a, b ∈ G

a ∗ b = a + b ∈ G (sifat tertutup terpenuhi atau aksioma pertama dipenuhi)

 Unsur identitas e ∈ G ada dalam H (e ∈ G maka e ∈ H)
Pilih e = 0, e ∈ G, ambil sembarang a ∈ G maka a ∗ e = a + 0 = a dan e ∗ a = 0 +

a = a sehingga dipenuhi a ∗ e = e ∗ a = a, artinya e = 0 element identitas (aksioma
ketiga dipenuhi)

 ∀ a ∈ H maka a −1 ∈ H

7