Page 8 - PROJECT_KEL 1_STRUKBAR_PSPM E 2019

B. TEOREMA-TEOREMA

Teorema A-1:

Suatu subset H yang tidak kosong dari grup { G,*} merupakan subgroup dari G jika dan hanya

jika :

1. Ɐ a,b ϵ H maka a*b ϵ H ( aksioma pertama dari defenisi grup)

-1
2. Ɐ a ϵ H maka a ϵ H (Akaioma keempat dari defenisi grup)

Bukti Teorema diatas dapat diperjelas sebagai berikut :

H ≠ ϕ ⊆ G

Akan ditunjukkan

a. Jika H subgroup dari G maka dipenuhi 1 dan 2 .

b. Jika dipenuhi 1 dan 2 maka H subgroup dari G

Berdasarkan hal diatas kita mulai bekerja

Bukti a :

Karena H merupakan subgroup dari G maka menurut definisi subgroup H memenuhi keempat
aksioma grup .Dengan demikian maka H memenuhi sifat 1 dan 2

Bukti b:

Untuk menunjukkan bahwa H subgruo dari G tinggal dibuktikan aksioma kedua dan ketiga

Aksioma kedua : G meruoakan grup berarti setiap unsur di G memenuhi sifat asosiatif .

sedangkan H⊆G , maka setiap unsur di H juga unsur di G , sehingga setiap
unsur di H juga memenuhi sifat Assosiatif.

Aksioma ketiga : Bil sembarang a ϵ H , a ϵ H, karena sifat 1 dipenuhi pada H maka a*a ϵ
-1
-1
H ( terbukti aksioma ketiga dipenuhi ) .

Dengan demikian keempat aksioma grup dipenuhi dan H⊆G maka H

merupakan subgroup dari G.

Contoh 2:

GL (2,R) = {[ ]| a,b,c,d ϵ R,ad – bc ≠0}

4