Page 10 - PROJECT_KEL 1_STRUKBAR_PSPM E 2019

-1
2.Jika Ɐa,b ∈ H berlaku a*b ∈ H maka H subgroup dari G

Bukti 1:

H subgroup dari G maka H grup berarti memenuhih keempat aksioma grup .

-1
Ambil sembarang a,b ∈ H menurut aksioma keempat b ∈ H , selanjutnya dengan aksioma
-1
pertama dipenuhi a*b ∈ (Terbukti).

Bukti 2 :

-1
Ambil sembarang a ∈ H diperoleh a *a ∈ H atau e∈H (mengapa ) dipenuhi aksioma ketiga

-1
Ambil sembarang e, a ∈ H diperoleh e*a ∈ H atau a ∈ H (Aksioma keempat dipenuhi)
-1
-1 -1
Ambil sembarang a,b ∈ H diperoleh a*(b ) ∈ H atau a*b ∈ H (aksioma pertama dipenuhi )
-1
Dengan dipenuhi aksioma pertama dan keempat menurut teorema A-1 maka H merupakan

subgroup dari G .

Contoh 3

Z= Himpunan semua bilangan bulat , operaso * didefenisikan sebagai penjumlahan biasa . dari

contoh 1 diketahui bahwa (Z,*) merupakan grup . H adalah himpunan semua bilangan genap .

Tunjukkan bahwa H merupakan subgroup dari Z.

Penyelesaian

Dari soal diatas H ⊆ Z dan H ≠ϕ karena 4 adalah bilangan genap maka 4 ∈ H. Sekanjutnya
akan ditunjukkan bahwa (H,*) Merupakan grup.

Untuk membuktikan soal diatas dapat digunakan definisi subgroup dan teorema yang berkaitan

yaitu teorema A-1 ataupun A-2 . G

Dengan defenisi grup dapat dilakukan seperti contoh sebelumnya

Dengan teorema A-2

Ambil sembarang a,b ∈ H dari defenisi dapat ditulis a = 2m dan b = 2n ; m , n ∈ Z ( bilangan

bulat)

6