Page 12 - PROJECT_KEL 1_STRUKBAR_PSPM E 2019

Ambil sembarang a ∈ H, pilih a −1 = −a ∈ H sehingga a ∗ a −1 = a + (−a) = 0 = e

dan a −1 ∗ a = −a + a = 0 = e. berarti ∀ a ∈ H maka a −1 ∈ H = −a ∈ H ∋ a ∗ a −1 =

a −1 ∗ a = e (aksioma keempat dipenuhi)
Dengan dipenuhi aksioma pertama, ketiga dan keempat dari grup maka menurut defenisi

A-1 H merupakan subgroup dari 〈G, ∗〉. Terbukti!

Teorema A-4

H himpunan bagian yang berhingga dan tak kosong dari grup G.H subgroup dari G memenuhi
sifat tertutup .

Bukti :

Dengan menggunakan Teorema A-1, yaitu:

Suatu subset H yang tidak kosong dari grup〈 〉 merupakan subgrup dari G, jika dan hanya jika:

1. maka (Aksioma pertama dari defenisi grup)

2. maka (Aksioma keempat dari defenisi grup)

Maka tinggal dibuktikan bahwa a-1 H jika a H. Jika a = e maka a-1= a. Lalu jika a e maka ada

beberapa kemungkinan yaitu, a, a2,a3,….

Karena H terbatas dan tertutup di bawah operasi terhadap G untuk setiap a bilangan positip

dalam H, tidak semua anggotanya berbeda. Kemudian, a^i = a^j dan i> j

maka a^i-j= e, dan karena a≠e , i-j > 1.

a^i-j= a . a^i-j-1= e

a^i-j-1= a-1. Tetapi i-j-1 ≥ 1 mengakibatkan a^i-j-1 € H. (Terbukti)

Teorema A-5

Jika S dan T masing masing subgroup dari G maka S ∩ T subgroup dari G

Bukti :

S ∩ T ≠ ϕ karena ada e ∈ S dan e ∈ T jadi e ∈ S ∩ T

Ambil sembarang x ∈ S ∩ T maka x ∈ S dan x ∈ T sehingga x ∈ G jadi S ∩ T ⊆ G

8