Page 9 - PROJECT_KEL 1_STRUKBAR_PSPM E 2019

1 0
Dengan operasi perkalian matriks ,G membentuk grup dengan elemen identitasnya [ ]
0 1

SL (2,Z) = {[ ]| a,b,c,d ϵ Z,ad – bc =1}

Apakah SL (2,Z) merupakan subgroup dari GL (2,R)?

Untuk membuktikan masalah diatas kita gunakan teorema A-1

1 3
SL(2,Z) ≠ ∅ Karena A =[ ] ϵ SL(2,Z)
1 4

Ambil sembarang X,Y ϵ SL (2,Z)

Akan ditunjukkan XY ϵ SL(2,Z)

Andaikan :X =[ ] dan Y=[ ] dengan ad-bc = 1 ; ru-st =1; dan a,b,c,d,r,s,t,u ϵ Z

+ +
XY=[ ]
+ +

Entre -entre dari XY merupakan bilangan bukat, bagaimana dengan det (XY) ,Apakah det
(XY)=1

Ambil sembarang X ∈ SL(2,Z),

−
-1
Andaikan X =[ ] dengan ad-bc =1 ; a,b,c,d ∈ Z maka X =[ ]
−
Det (X) = ad-bc

= 1

-1
Jadi terbukti X ∈ SL(2,Z) Menurut teorema A-1 SL(2,Z) subgroup dari GL(2,R).

Teorema A-2

Suatu subset H yang tidak kosong dari grup (G,*) merupakan subgroup dari G jika dan hanya

-1
jika :Ɐ a,b ∈ H maka * b ∈ H.

Bukti teorema di atas juga terdiri dari dua bagian :

H≠ϕ ⊆ G

1.jika H subgroup dari G maka berlaku a*b ∈ H Ɐ a,b ∈H.
-1

5