Page 100 - Buku PD 2020 Lengkap Pak Panjaitan

λ1 ≠ λ2 ≠ λ3 ≠ λ4 ≠ .... ≠λn-1 ≠ λn
Solusi umum PD ini adalah:

Y = c1 λ1x + c2 λ2x + c3 λ3x + ... + cn λnx

Memuat solusi bebas linier dengan n konstanta sembarang
Kasus 2 : Jika λ1 = λ2 ≠ λ3 ≠ λ4 ≠ .... ≠λn-1 ≠ λn

Solusi umum PD ini adalah:

Y = c1 λ1 + c2 λ2X + c3 λ3X + ... + cn λnX

Secara umum, jika λ terjadi r kali, maka solusi umum PD ini
adalah:

λx
y = (c + c x + c x + ....+ c x r− 1 )e + c e λ n+ 1 x + ....+ c e λ n− 1 x + c e
λx
2
1 2 3 1 n+ 1 n+ 1 n
Kasus 3 : Beberapa akarnya merupakan akar kompleks.
Jika Po, P1, P2, ..., Pn adalah riil dan jika a+bi adalah akar

kompleks dan demikian juga dengan a-bi (dimana a dan b
adalah riil) maka solusi umum yang berkaitan dengan

akar-akar kompleks ini adalah:

Y = [ c 1 cos bx + c 2 sin bx]

Langkah-langkah menentukan solusi umum PD linier homogen koefisien

konstanta:
1. Tentukan persamaan karakteristiknya

2. Tentukan akar-akar dari persamaan karateristiknya

3. Dengan memperhatikan ketiga kasus dari jenis akar-akar persamaan
karakteristik maka solusi umum PD ini dapat ditentukan.

5.3 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER TAK HOMOGEN
ORDE n DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Persamaan linier tak homogen orde n mempunyai bentuk :
(P0 D + P1 D + P2 D + . . . + Pn-1 D + Pn)y = 0
n-2
n
n-1
Dengan P0 ≠ 0, P1, P2, P3, . . . , Pn adalah konstanta sembarang, dan Q(x) ≠ 0.
Solusi umum PD tak homogen adalah :

Y = Yc(x) + Yp(x)

98