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Lógica II

FUNCIÓN PROPOSICIONAL

(1) y (2) son proposiciones porque se
2
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 (1) (V) pueden calificar como verdadero o
falso.
2
2 + 4 + 6 + 8 = 4 (2) (F)
Si bien (3) no es falso ni verdadero,
2
x + (x + 1) + (y + 2) = 3 (3) (?) VIDEO DE TEORÍA
pero dando valores a x resulta falso
o verdadero.
Una proposición es un enunciado cerrado. Un enunciado que contiene va-
riables que al ser sustituidas por algún valor resulta una proposición, se lla-
ma enunciado abierto o función proposicional.

Una función proposicional se denota por P(x), o P(x, y) según el número de
variables.

• P(x): x + 3 < 7 • Q(x, y): x + y > 2 • R(x): 2x – 1 = 13

Problema 5 Problema 6 Ten presente
Dado P(x): 2x + 3 > 7, determine el Sea Q(x, y): x + y > 10.
valor de verdad de la proposición: Determine los valores enteros de Negación de cuantificadores
[P(1) ∨ P(4)] → [∼P(2) ↔ P(0)] n para que Q(n; 2n) ∧ Q(25; – 2n) Una proposición con cuantifi-
Resuelve problemas de cantidad (Aritmética) • P(4): 2(4) + 3 > 7 ⇒ P(4) ≡ V Q(n; 2n) ∧ Q(25; – 2n) ≡ V por existencial y viceversa y
sea verdadero.
cadores se niega reemplazan-
Resolución:
do el cuantificador universal
Resolución:
• P(1): 2(1) + 3 > 7 ⇒ P(1) ≡ F
negando la proposición.
⇔ Q(n; 2n) ≡ V ∧ Q(25; – 2n) ≡ V
• P(2): 2(2) + 3 > 7 ⇒ P(2) ≡ F
∼[∀x ∈ A/P(x)] ≡ ∃x ∈ A/∼P(x)
• Q(n; 2n): n + 2n > 10 ⇒ n > 3,3
• P(0): 2(0) + 3 > 7 ⇒ P(0) ≡ F
∼[∃x ∈ A/P(x)] ≡ ∀x ∈ A/∼P(x)
• Q(25; –2n): 25 – 2n > 10
[P(1) ∨ P(4)] → [∼P(2) ↔ P(0)]
15 > 2n ⇒ n < 7,5
F V V F V F F F
• La negación de "Todos los
números primos son natu-

Rpta.: F
rales" es "Algunos números
primos no son naturales".
CUANTIFICADORES ∴ n = 4; 5; 6 y 7 Rpta.: 4; 5; 6 y 7 Simbólicamente:
Proposición:
Sea el conjunto A = {0; 1; 2; 3} y la función proposicional P(x): 2x + 1 < 7.
∀x primo → x ∈ 
Para x = 0: 2(0) + 1 < 7 (V) Para x = 2: 2(2) + 1 < 7 (V) Negación:

Para x = 1: 2(1) + 1 < 7 (V) Para x = 3: 2(3) + 1 < 7 (F) ∃x primo ∧ x ∉ 

Cuantificador universal (∀) Cuantificador existencial (∃)
∀x ∈ A, 2x + 1 < 7 ∃x ∈ A, 2x + 1 < 7
• Para todo valor de x • Existe algún x
• Para cada x • Existe por lo menos un x
• Todos los x • Algunos x

"Todos los elementos de A "Algunos elementos de A cum-
cumplen la relación 2x + 1 < 7" plen la relación 2x + 1 < 7".
Como se ha visto atrás, para En efecto, para x = 0; 1 y 2 cum-
x = 3 no es cierto. Por lo tanto: plen con 2x + 1 < 7.
∀x ∈ A, 2x + 1 < 7 es falso. Por lo tanto, ∃x ∈ A, 2x + 1 < 7
es verdadero.
12 Aritmética 4 - Secundaria