Page 20 - Guia del maestro - Algebra 4° Sec

Fracciones algebraicas

Descomposición De una fracción en fracciones parciales

2
2x + x − 1 = 3x − 5x − 2 El resultado de la izquierda proviene de la
x + 2 x − 3 ( x + 2 x − 3) suma de dos fracciones.
(
)
La descomposición de una fracción en fracciones parciales es el proceso in-
verso al anterior, consiste en expresar una fracción como la adición indicada
de fracciones simples. Analizaremos diversos casos. VIDEO DE TEORÍA

Para fracciones propias

CASO I: Si el denominador contiene CASO II: Si el denominador contiene
sólo factores lineales y ninguna potencia potencias de factores lineales. Ten presente
de ellos.
+
x + 4 x 6 A B C
2
Por cada factor = + +
3x − 4 = A + B del denomina- ( x 2) 3 x 2 ( x 2) 2 ( x 2) 3 Descomposición de
+
+
+
+
(
( x − 3 x + 2) x − 3 x + 2 dor hay una fracciones impropias en
)
fracción parcial. 2 2 fracciones parciales
+
x + x 4 + 6 = ( x + x 4 + 4)A +( x 2 +)B C
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio (Álgebra)
+
+
3x − 4 = A ( x + 2 + ( x − 3) ( x 2) 3 ( x 2) 3 Se divide el numerador
B
)
(
)
(
)
( x − 3 x + 2) ( x − 3 x + 2) entre el denominador, y
2
1x + 4x + 6 ≡ Ax + (4A + B)x + 4A + 2B + C la fracción propia, con el
2
residuo como numerador se
3x – 4 ≡ (A + B)x + (2A – 3B) descompone en fracciones
A = 1 A = 1 parciales.
4A + B = 4 B = 0
De donde: • Descompongamos:
4A + 2B + C = 6 C = 2
A + B = 3 Resolviendo: 2x + 8x + 5x − 5
3
2
2
2A – 3B = –4 A = 1; B = 2 Reponiendo: x + 4x + 3
en fracciones parciales.
+
2
Reponiendo: x + 4 x 6 = 1 + 2
3
2
2
+
+
+
( x 2) 3 x 2 ( x 2) 3 2x + 8x + 5x – 5 x + 4x + 3
3x − 4 = 1 + 2 –2x – 8x – 6x 2x
2
3
)
(
( x − 3 x + 2) x − 3 x + 2 –x – 5
x + 5
2x − :
2
x + 4x + 3
CASO III: Si el denominador contiene factores cuadráticos o sus potencias.
x + 5 A B
= +
( x + 3)( x + 1) x + 3 x + 1
2
x 2
3
x + 4 x + 3 − = A x + B + C x + D
2
2
2
( x + 3 − 2 x + 3 − x + 3 x 1− ) 2 x + 5 = (A + B)x + (3B + A)
x 1 (
x 1)
x + 4 x + 3 x 2 = (A x + )( x + 3 − ) x + D A + B = 1 A = –1
2
2
−
3
x 1 + C
B
−
2
2
( x + 3 x 1) 2 ( x + 3 − 2 3B + A = 5 B = +2
x 1)
2
3
2x + 8x + 5x − 5
3
2
2
3
x + 4x + 3x – 2 ≡ Ax + (3A + B)x + (–A + 3B + C)x + (–B + D)
2
x + 4x + 3
A = 1 = 2x −   −1 + 2  
1
3A + B = 4 Resolviendo:  x + 3 x + 
–A + 3B + C = 3 A = 1; B = 1; C = 1; D = –1 1 2
= 2x + −
–B + D = –2 x + 3 x + 1
−
4
3
x 3 + x 2 + x 2 x +1 x −1
∴ = +
−
−
−
x ( 2 + x 1) 2 x 2 + x 1 ( x 2 + x 1) 2
3
3
3
18 Álgebra 4 - Secundaria